Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{8} - 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ et ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ à partir de ${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez ${(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ par $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Étape 2.2.3

Additionnez $n$ et $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

Étape 2.2.5

Soustrayez $n$ de $n$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Étape 2.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$r = \frac{1}{3}$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $n$ par $1$ dans $- 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$a = - 4 {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = - 4 {(\frac{1}{3})}^{0}$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$a = - 4 \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Étape 3.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = - 4 \frac{1}{3^{0}}$

Étape 3.2.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = - 4 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.5

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 3.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$a = - 4 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$a = - 4 \cdot 1$

Étape 3.2.6

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$a = - 4$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$- 4 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Étape 5.1.1

Multipliez $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- 4 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}})$

Étape 5.1.2

Associez.

$- 4 \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 4 \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$- 4 \frac{3 + 3 (- \frac{1^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1^{8}}{3^{8}}$ dans le numérateur.

$- 4 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $3$ à partir de $3^{8}$ .

$- 4 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$- 4 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.5

Élevez $3$ à la puissance $7$ .

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 \frac{3 - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.8

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2187}{2187}$ .

$- 4 \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.9

Associez $3$ et $\frac{2187}{2187}$ .

$- 4 \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.11.1

Multipliez $3$ par $2187$ .

$- 4 \frac{\frac{6561 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.11.2

Soustrayez $1$ de $6561$ .

$- 4 \frac{\frac{6560}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 4 \frac{\frac{6560}{2187}}{3 - 1}$

Étape 5.5.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$- 4 \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

Étape 5.6.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 2 \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

Étape 5.6.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 (\frac{6560}{2187})$

Étape 5.7

Associez $- 2$ et $\frac{6560}{2187}$ .

$\frac{- 2 \cdot 6560}{2187}$

Étape 5.8

Multipliez $- 2$ par $6560$ .

$\frac{- 13120}{2187}$

Étape 5.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{13120}{2187}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{13120}{2187}$

Forme décimale :

$- 5.99908550 \dots$

Forme de nombre mixte :

$- 5 \frac{2185}{2187}$