Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer à l'aide de la règle de l'Hôpital limite lorsque x approche de pi/2 de (cos(x))/(1-sin(x))
Étape 1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
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Étape 1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 1.2
Évaluez la limite du numérateur.
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Étape 1.2.1
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.
Étape 1.2.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.2.3
La valeur exacte de est .
Étape 1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
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Étape 1.3.1
Évaluez la limite.
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Étape 1.3.1.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 1.3.1.2
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 1.3.1.3
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.
Étape 1.3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 1.3.3
Simplifiez la réponse.
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Étape 1.3.3.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 1.3.3.1.1
La valeur exacte de est .
Étape 1.3.3.1.2
Multipliez par .
Étape 1.3.3.2
Soustrayez de .
Étape 1.3.3.3
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.3.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
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Étape 3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 3.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.5
Évaluez .
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Étape 3.5.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.5.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 3.6
Soustrayez de .
Étape 4
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 5
Convertissez de à .
Étape 6
Regardez la limite côté gauche.
Étape 7
Comme les valeurs approchent de par la gauche, les valeurs de la fonction augmentent sans borne.
Étape 8
Regardez la limite côté droit.
Étape 9
Comme les valeurs approchent de par la droite, les valeurs de la fonction diminuent sans borne.
Étape 10
Comme les limites côté gauche et côté droit ne sont pas égales, la limite n’existe pas.