Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Étape 2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Étape 3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x)}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt{8}}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt{4 (2)}}$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 5.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\ln (8)}{2 \sqrt{2}}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{\ln (8)}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\ln (8)}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Multipliez $\frac{\ln (8)}{2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.3.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 5.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 5.3.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 5.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.3.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 5.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{4}$

Forme décimale :

$0.73519360 \dots$