Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer l'intégrale intégrale de sin(x)^4 par rapport à x
Étape 1
Simplifiez en factorisant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2
Réécrivez comme une élévation à une puissance.
Étape 2
Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire en .
Étape 3
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.1
Différenciez .
Étape 3.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 3.1.4
Multipliez par .
Étape 3.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 4
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 5
Simplifiez en multipliant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Réécrivez comme un produit.
Étape 5.2
Développez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.
Étape 5.2.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.6
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.7
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.8
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.9
Déplacez .
Étape 5.2.10
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.11
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.12
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.13
Déplacez .
Étape 5.2.14
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.15
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.16
Déplacez .
Étape 5.2.17
Déplacez .
Étape 5.2.18
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.19
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.20
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.21
Déplacez .
Étape 5.2.22
Déplacez .
Étape 5.2.23
Multipliez par .
Étape 5.2.24
Multipliez par .
Étape 5.2.25
Multipliez par .
Étape 5.2.26
Multipliez par .
Étape 5.2.27
Multipliez par .
Étape 5.2.28
Associez et .
Étape 5.2.29
Multipliez par .
Étape 5.2.30
Associez et .
Étape 5.2.31
Multipliez par .
Étape 5.2.32
Associez et .
Étape 5.2.33
Associez et .
Étape 5.2.34
Multipliez par .
Étape 5.2.35
Multipliez par .
Étape 5.2.36
Multipliez par .
Étape 5.2.37
Associez et .
Étape 5.2.38
Multipliez par .
Étape 5.2.39
Multipliez par .
Étape 5.2.40
Associez et .
Étape 5.2.41
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.42
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.43
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.2.44
Additionnez et .
Étape 5.2.45
Soustrayez de .
Étape 5.2.46
Associez et .
Étape 5.2.47
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.48
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.3.1.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.3.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.3.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.3.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 6
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 7
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 8
Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire en .
Étape 9
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 10
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1
Multipliez par .
Étape 10.2
Multipliez par .
Étape 11
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 12
Appliquez la règle de la constante.
Étape 13
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1.1
Différenciez .
Étape 13.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 13.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 13.1.4
Multipliez par .
Étape 13.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 14
Associez et .
Étape 15
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 16
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 17
Appliquez la règle de la constante.
Étape 18
Associez et .
Étape 19
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 20
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 21
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 22
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 22.1
Simplifiez
Étape 22.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 22.2.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 22.2.2
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 22.2.2.1
Multipliez par .
Étape 22.2.2.2
Multipliez par .
Étape 22.2.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 22.2.4
Déplacez à gauche de .
Étape 22.2.5
Additionnez et .
Étape 23
Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 23.1
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 23.2
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 23.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 24
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 24.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 24.1.1
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 24.1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 24.1.1.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 24.1.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 24.1.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 24.1.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 24.1.2
Multipliez par .
Étape 24.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 24.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 24.3.1
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 24.3.1.1
Multipliez par .
Étape 24.3.1.2
Multipliez par .
Étape 24.3.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 24.3.2.1
Multipliez par .
Étape 24.3.2.2
Multipliez par .
Étape 24.3.3
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 24.3.3.1
Multipliez par .
Étape 24.3.3.2
Multipliez par .
Étape 25
Remettez les termes dans l’ordre.