Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{12}{\sqrt{x}} + 12 \sqrt{x} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{12}{\sqrt{x}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Étape 2

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$12 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Étape 3.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$12 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$12 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Étape 3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$12 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 12 \sqrt{x} d x$

Étape 5

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 \int \sqrt{x} d x$

Étape 6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 8

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Étape 8.1

Simplifiez

$24 x^{\frac{1}{2}} + 12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + 12 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 8.2.2

Associez $12$ et $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{12 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Étape 8.2.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{24 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 8.2.4

Factorisez $3$ à partir de $24 x^{\frac{3}{2}}$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Étape 8.2.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} + C$

Étape 8.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

Étape 8.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{1} + C$

Étape 8.2.5.4

Divisez $8 x^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + 8 x^{\frac{3}{2}} + C$