Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{\sqrt{8 x}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 8 x$ . Alors $d u = 8 d x$ , donc $\frac{1}{8} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 8 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 1.1.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$8$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{8} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Étape 2.2

Déplacez $8$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{8} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $2$ .

$\frac{2}{8} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$\frac{1}{4} {(8 x)}^{\frac{1}{2}} + C$