Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{2}}{4 + x^{2}} d x$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $4$ et $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2}}{x^{2} + 4} d x$

Étape 2

Divisez $x^{2}$ par $x^{2} + 4$ .

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Étape 2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Étape 2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$

Étape 2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 0 + 4$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$4$

Étape 2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$4$
									-	$4$

Étape 2.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 1 - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - \int \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Étape 6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - (4 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x + C - 4 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Étape 7.2

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $4$ .

$x + C - 4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Étape 7.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x + C - 4 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$x + C - 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$x + C - 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Étape 9.2

Simplifiez

$x - 2 \arctan (\frac{x}{2}) + C$

Étape 9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$x - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$