Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 5}{x^{4}} d x$

Étape 1

Retirez $x^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{4 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{- 4} d x$

Étape 3

Développez $(x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{- 4}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{4} - 3 x^{2}) x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{4} x^{- 4} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{4 - 4} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Étape 3.4

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\int x^{0} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Étape 3.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int 1 - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 1 - 3 x^{2 - 4} + 5 x^{- 4} d x$

Étape 3.7

Soustrayez $4$ de $2$ .

$\int 1 - 3 x^{- 2} + 5 x^{- 4} d x$

Étape 3.8

Remettez dans l’ordre $1$ et $- 3 x^{- 2}$ .

$\int - 3 x^{- 2} + 1 + 5 x^{- 4} d x$

Étape 3.9

Déplacez $1$ .

$\int - 3 x^{- 2} + 5 x^{- 4} + 1 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 3 x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Étape 5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 \int x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Étape 7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 \int x^{- 4} d x + \int d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int d x$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $x^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int d x$

Étape 9.2

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int d x$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + x + C$

Étape 11

Simplifiez

$\frac{3}{x} - \frac{5}{3 x^{3}} + x + C$