Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sec^{6} (x) d x$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Réécrivez $6$ comme $4$ plus $2$

$\int {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Étape 1.2

Réécrivez ${\sec (x)}^{4 + 2}$ comme $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{4} (x) \sec^{2} (x) d x$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int {\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x) d x$

Étape 1.4

Réécrivez ${\sec (x)}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\int {(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Étape 2

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sec^{2} (x)$ comme $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int {(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Étape 3

Laissez $u = \tan (x)$ . Alors $d u = \sec^{2} (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \tan (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Étape 4

Développez ${(1 + u^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez ${(1 + u^{2})}^{2}$ comme $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$\int (1 + u^{2}) (1 + u^{2}) d u$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2} d u$

Étape 4.5

Remettez dans l’ordre $u^{2}$ et $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 4.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int 1 + 1 u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 4.7

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$\int 1 + u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 4.8

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 4.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Étape 4.10

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{4} d u$

Étape 4.11

Additionnez $u^{2}$ et $u^{2}$ .

$\int 1 + 2 u^{2} + u^{4} d u$

Étape 4.12

Remettez dans l’ordre $2 u^{2}$ et $u^{4}$ .

$\int 1 + u^{4} + 2 u^{2} d u$

Étape 4.13

Déplacez $1$ .

$\int u^{4} + 2 u^{2} + 1 d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{4} d u + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 \int u^{2} d u + \int d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Étape 10.2

Simplifiez

$\frac{u^{5}}{5} + \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{5} (x)}{5} + \frac{2 \tan^{3} (x)}{3} + \tan (x) + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{2}{3} \tan^{3} (x) + \tan (x) + C$