Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt{x^{2} + 4} d x$

Étape 1

Laissez $x = 2 \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ est positif.

$\int \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \tan (t)$ .

$\int \sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \tan^{2} (t) + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.4

Réécrivez $4 \sec^{2} (t)$ comme ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int 2 \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int 4 \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.2.2

Multipliez $\sec (t)$ par $\sec^{2} (t)$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Déplacez $\sec^{2} (t)$ .

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\sec^{2} (t)$ par $\sec (t)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Étape 2.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \sec^{3} (t) d t$

Étape 4

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $\sec^{3} (t)$ .

$4 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sec (t)$ et $d v = \sec^{2} (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Étape 6

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Étape 7

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Étape 9.2

Remettez dans l’ordre $\tan^{2} (t)$ et $\sec (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Étape 10

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Étape 11

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Étape 11.3

Remettez dans l’ordre $\sec (t)$ et $- 1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Étape 12

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Étape 13

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Étape 14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Étape 15

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Étape 16

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Étape 17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Étape 18

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Étape 19

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Étape 20

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Étape 21

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Étape 22

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 22.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 23

En résolvant $\int \sec^{3} (t) d t$ , nous trouvons que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Étape 24

Multipliez $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ par $1$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Étape 25

Simplifiez

$4 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 26

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 26.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 26.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 26.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 26.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 26.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 27

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$2 (\sec (\arctan (\frac{x}{2})) \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 28.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 28.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (\frac{x}{2})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \frac{x}{2})$ . Ainsi, $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ est $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$2 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 (\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.6

Réécrivez $\frac{4 + x^{2}}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 28.1.6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $4 + x^{2}$ .

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.6.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.9

Les fonctions tangente et arc tangente sont inverses.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.10

Associez.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{2 \cdot 2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.11

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 28.1.12.1

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.6

Réécrivez $\frac{4 + x^{2}}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 28.1.12.6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $4 + x^{2}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.6.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 28.1.12.9

Les fonctions tangente et arc tangente sont inverses.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{x}{2} |)) + C$

Étape 28.1.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}} + x}{2} |)) + C$

Étape 28.1.14

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})) + C$

Étape 28.2

Pour écrire $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

Étape 28.3

Associez $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ et $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

Étape 28.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Étape 28.5

Déplacez $4$ à gauche de $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{4} + C$

Étape 28.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 28.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 (2)} + C$

Étape 28.6.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Étape 28.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2} + C$

Étape 29

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$