Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin^{4} (x) \cos^{3} (x) d x$

Étape 1

Factorisez $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{4} (x) (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x$

Étape 2

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (x)$ comme $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{4} (x) ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x$

Étape 3

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{4} (1 - u^{2}) d u$

Étape 4

Multipliez $u^{4} (1 - u^{2})$ .

$\int u^{4} \cdot 1 + u^{4} (- u^{2}) d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $u^{4}$ par $1$ .

$\int u^{4} + u^{4} (- u^{2}) d u$

Étape 5.2

Multipliez $u^{4}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1

Déplacez $u^{2}$ .

$\int u^{4} + u^{2} u^{4} \cdot - 1 d u$

Étape 5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{4} + u^{2 + 4} \cdot - 1 d u$

Étape 5.2.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$\int u^{4} + u^{6} \cdot - 1 d u$

Étape 5.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $u^{6}$ .

$\int u^{4} - 1 \cdot u^{6} d u$

Étape 5.4

Réécrivez $- 1 u^{6}$ comme $- u^{6}$ .

$\int u^{4} - u^{6} d u$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{4} d u + \int - u^{6} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - u^{6} d u$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - \int u^{6} d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{6}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - (\frac{1}{7} u^{7} + C)$

Étape 10

Simplifiez

$\frac{1}{5} u^{5} - \frac{1}{7} u^{7} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{1}{7} \sin^{7} (x) + C$