Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} \sqrt{1 + x^{3}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + x^{3}$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Étape 1.1.5

Additionnez $0$ et $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{3}$ .

$\frac{2}{9} {(1 + x^{3})}^{\frac{3}{2}} + C$