Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Étape 1

Laissez $x = \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ est positif.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \sec^{3} (t) \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \sec^{1} (t) \sec^{3} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Étape 2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {\sec (t)}^{1 + 3} \tan (t) \tan (t) d t$

Étape 2.2.1.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\int \sec^{4} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Étape 2.2.1.4

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.1.5

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Étape 2.2.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \sec^{4} (t) {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 2.2.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Étape 2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$\int {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez ${\sec (t)}^{2 + 2}$ comme $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sec^{2} (t)$ comme $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Étape 4

Laissez $u = \tan (t)$ . Alors $d u = \sec^{2} (t) d t$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \tan (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\tan (t)$ par rapport à $t$ est $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (1 + u^{2}) u^{2} d u$

Étape 5

Multipliez $(1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.2

Multipliez $u^{2}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Étape 6.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} d u$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int u^{4} d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 10

Simplifiez

$\frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 11

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (t)$ .

$\frac{1}{3} \tan^{3} (t) + \frac{1}{5} \tan^{5} (t) + C$

Étape 11.2

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (x)) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (x)) + C$