Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 1.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Étape 5

Évaluez $- \cos (u)$ sur $π$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \cos (0))$

Étape 6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + 1)$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{1}{2} (- - \cos (0) + 1)$

Étape 7.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Étape 7.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (- - 1 + 1)$

Étape 7.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (1 + 1)$

Étape 7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 7.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 7.6.2

Réécrivez l’expression.

$1$