Calcul infinitésimal Exemples

$\int 3 t^{2} \sqrt{t^{3} + 2} d t$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int t^{2} \sqrt{t^{3} + 2} d t$

Étape 2

Laissez $u = t^{3} + 2$ . Alors $d u = 3 t^{2} d t$ , donc $\frac{1}{3} d u = t^{2} d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = t^{3} + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $t^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3} + 2]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{3} + 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 t^{2} + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 2.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$3 t^{2} + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $3 t^{2}$ et $0$ .

$3 t^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 3

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{3}{3} \int \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3} \int \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \sqrt{u} d u$

Étape 5.1.3

Multipliez $\int \sqrt{u} d u$ par $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Étape 5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{3} + 2$ .

$\frac{2}{3} {(t^{3} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$