Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \sin (3 x^{2}) d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 x^{2}$ . Alors $d u = 6 x d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x)$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sin (u) \frac{1}{6} d u$

Étape 2

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{6} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} \int \sin (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{6} (- \cos (u) + C)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez

$\frac{1}{6} (- \cos (u)) + C$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{6}$ et $\cos (u)$ .

$- \frac{\cos (u)}{6} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{2}$ .

$- \frac{\cos (3 x^{2})}{6} + C$

Étape 7

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{6} \cos (3 x^{2}) + C$