Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x^{11} {(1 + x^{12})}^{11} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + x^{12}$ . Alors $d u = 12 x^{11} d x$ , donc $\frac{1}{12} d u = x^{11} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + x^{12}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + x^{12}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{12}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{12}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Étape 1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 12$ .

$0 + 12 x^{11}$

Étape 1.1.5

Additionnez $0$ et $12 x^{11}$ .

$12 x^{11}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + x^{12}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{12}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + x^{12}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{12}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{2} u^{11} \frac{1}{12} d u$

Étape 2

Associez $u^{11}$ et $\frac{1}{12}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{11}}{12} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{12}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{12}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{12} \int_{1}^{2} u^{11} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{11}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{12} u^{12}]_{1}^{2}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{1}{12} u^{12}$ sur $2$ et sur $1$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{12} \cdot 2^{12}) - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Élevez $2$ à la puissance $12$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{12} \cdot 4096 - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{1}{12}$ et $4096$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4096}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun à $4096$ et $12$ .

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4096$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 (1024)}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Étape 5.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Étape 5.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Étape 5.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1)$

Étape 5.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12})$

Étape 5.2.6

Pour écrire $\frac{1024}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{12})$

Étape 5.2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.7.1

Multipliez $\frac{1024}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{12})$

Étape 5.2.7.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{12} - \frac{1}{12})$

Étape 5.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1024 \cdot 4 - 1}{12}$

Étape 5.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.9.1

Multipliez $1024$ par $4$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4096 - 1}{12}$

Étape 5.2.9.2

Soustrayez $1$ de $4096$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4095}{12}$

Étape 5.2.10

Annulez le facteur commun à $4095$ et $12$ .

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Étape 5.2.10.1

Factorisez $3$ à partir de $4095$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 (1365)}{12}$

Étape 5.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

Étape 5.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

Étape 5.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1365}{4}$

Étape 5.2.11

Multipliez $\frac{1}{12}$ par $\frac{1365}{4}$ .

$\frac{1365}{12 \cdot 4}$

Étape 5.2.12

Multipliez $12$ par $4$ .

$\frac{1365}{48}$

Étape 5.2.13

Annulez le facteur commun à $1365$ et $48$ .

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Étape 5.2.13.1

Factorisez $3$ à partir de $1365$ .

$\frac{3 (455)}{48}$

Étape 5.2.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.13.2.1

Factorisez $3$ à partir de $48$ .

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

Étape 5.2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

Étape 5.2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{455}{16}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{455}{16}$

Forme décimale :

$28.4375$

Forme de nombre mixte :

$28 \frac{7}{16}$

Étape 7