Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} e^{- 4 x} d x$

Étape 1

Laissez $u = - 4 x$ . Alors $d u = - 4 d x$ , donc $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = - 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 1.1.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - 4 x$ .

$u_{lower} = - 4 \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - 4 x$ .

$u_{upper} = - 4 \cdot 1$

Étape 1.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u_{upper} = - 4$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 4$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{- 4} e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{0}^{- 4} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Étape 2.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{- 4} - \frac{e^{u}}{4} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{0}^{- 4} \frac{e^{u}}{4} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{4} \int_{0}^{- 4} e^{u} d u)$

Étape 5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 4}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $e^{u}$ sur $- 4$ et sur $0$ .

$- \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{0})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - 1 \cdot 1)$

Étape 6.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - 1)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{4} e^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Étape 7.2

Associez $e^{- 4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- 4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Étape 7.3

Multipliez $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{e^{- 4}}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$- \frac{e^{- 4}}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 7.4

Placez $e^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4 e^{4}} + \frac{1}{4}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{4 e^{4}} + \frac{1}{4}$

Forme décimale :

$0.24542109 \dots$

Étape 9