Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} (3 - t) \sqrt{t} d t$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{3} (3 - t) t^{\frac{1}{2}} d t$

Étape 2

Développez $(3 - t) t^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Étape 2.2

Factorisez le signe négatif.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - (t \cdot t^{\frac{1}{2}}) d t$

Étape 2.3

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) d t$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

Étape 2.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

Étape 2.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{0}^{3} t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 6

Associez $\frac{2}{3}$ et $t^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) - (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}]_{0}^{3})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $t^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{3})$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $3$ et sur $0$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{3})$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ sur $3$ et sur $0$ .

$3 (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3

Simplifiez

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Étape 9.2.3.1

Placez $3^{1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.2

Multipliez $3^{\frac{3}{2}}$ par $3^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.3.2.1

Déplacez $3^{- 1}$ .

$3 (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.2.6.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.7

Multipliez $2$ par $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{0}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.8

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.2.3.8.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{0}{1}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.8.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 0) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.9

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.10

Additionnez $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ et $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.11

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.12

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 9.2.3.13

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Étape 9.2.3.14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.14.1

Annulez le facteur commun.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Étape 9.2.3.14.2

Réécrivez l’expression.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{5}}{5})$

Étape 9.2.3.15

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0}{5})$

Étape 9.2.3.16

Multipliez $2$ par $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{0}{5})$

Étape 9.2.3.17

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 9.2.3.17.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Étape 9.2.3.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.17.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Étape 9.2.3.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Étape 9.2.3.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{0}{1})$

Étape 9.2.3.17.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 0)$

Étape 9.2.3.18

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} + 0)$

Étape 9.2.3.19

Additionnez $\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$ et $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Étape 9.2.3.20

Pour écrire $6 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Étape 9.2.3.21

Associez $6 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Étape 9.2.3.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5 - 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Étape 9.2.3.23

Multipliez $5$ par $6$ .

$\frac{30 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{30 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Forme décimale :

$4.15692193 \dots$

Étape 11