Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{t} - 2 d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{t} d t + \int_{- 1}^{1} - 2 d t$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{t}$ comme $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{- 1}^{1} t^{\frac{1}{3}} d t + \int_{- 1}^{1} - 2 d t$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $t$ est $\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 d t$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1} + - 2 t]_{- 1}^{1}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1}$ et $- 2 t]_{- 1}^{1}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}} - 2 t]_{- 1}^{1}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}} - 2 t$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot 1) - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3}{4} \cdot 1 - 2 \cdot 1 - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$\frac{3}{4} - 2 \cdot 1 - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{3}{4} - 2 - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.4

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.5

Associez $- 2$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4} - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 - 2 \cdot 4}{4} - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.7.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{3 - 8}{4} - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.7.2

Soustrayez $8$ de $3$ .

$\frac{- 5}{4} - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.9

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.10

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.11

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.11.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.11.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} {(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.12

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 1 - 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.13

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} - 2 \cdot - 1)$

Étape 5.2.2.14

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} + 2)$

Étape 5.2.2.15

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4})$

Étape 5.2.2.16

Associez $2$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{5}{4} - (\frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4})$

Étape 5.2.2.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{5}{4} - \frac{3 + 2 \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.2.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.18.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$- \frac{5}{4} - \frac{3 + 8}{4}$

Étape 5.2.2.18.2

Additionnez $3$ et $8$ .

$- \frac{5}{4} - \frac{11}{4}$

Étape 5.2.2.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 5 - 11}{4}$

Étape 5.2.2.20

Soustrayez $11$ de $- 5$ .

$\frac{- 16}{4}$

Étape 5.2.2.21

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $4$ .

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Étape 5.2.2.21.1

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{4}$

Étape 5.2.2.21.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.21.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}$

Étape 5.2.2.21.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}$

Étape 5.2.2.21.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4}{1}$

Étape 5.2.2.21.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$- 4$

Étape 6