Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{2}}{x^{4} - 2 x^{2} - 8} d x$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 8}$

Étape 1.1.1.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$\frac{x^{2}}{u^{2} - 2 u - 8}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $u^{2} - 2 u - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 4, 2$

Étape 1.1.1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x^{2}}{(u - 4) (u + 2)}$

Étape 1.1.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{(x^{2} - 4) (x^{2} + 2)}$

Étape 1.1.1.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{(x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 2)}$

Étape 1.1.1.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{x^{2}}{(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}$

Étape 1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Étape 1.1.3

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

Étape 1.1.4

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.5

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)$ .

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.6

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 1.1.6.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2} (x - 2)) (x^{2} + 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.7

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 1.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (x - 2) (x^{2} + 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2}) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.8

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 2$ .

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Étape 1.1.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.8.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.1

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 1.1.9.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{A (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.1.2

Divisez $((A) (x - 2)) (x^{2} + 2)$ par $1$ .

$x^{2} = ((A) (x - 2)) (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = (A x + A \cdot - 2) (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $A$ .

$x^{2} = (A x - 2 \cdot A) (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.4

Développez $(A x - 2 A) (x^{2} + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.9.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x (x^{2} + 2) - 2 A (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x \cdot x^{2} + A x \cdot 2 - 2 A (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x \cdot x^{2} + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.5.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.9.5.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{2} = A (x^{2} x) + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.5.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.1.9.5.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} = A (x^{2} x) + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} = A x^{2 + 1} + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.5.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{2} = A x^{3} + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $A x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 \cdot (A x) - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.5.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.6

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 1.1.9.6.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.6.2

Divisez $(B) (x + 2) (x^{2} + 2)$ par $1$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + (B) (x + 2) (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.7

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + (B x + B \cdot 2) (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.8

Déplacez $2$ à gauche de $B$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + (B x + 2 \cdot B) (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.9

Développez $(B x + 2 B) (x^{2} + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.9.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x (x^{2} + 2) + 2 B (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x \cdot x^{2} + B x \cdot 2 + 2 B (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x \cdot x^{2} + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.10.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.9.10.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B (x^{2} x) + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.10.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.1.9.10.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B (x^{2} x) + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.10.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{2 + 1} + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.10.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.10.2

Déplacez $2$ à gauche de $B x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 \cdot (B x) + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.10.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.11

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 2$ .

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Étape 1.1.9.11.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Étape 1.1.9.11.2

Divisez $(C x + D) (x + 2) (x - 2)$ par $1$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x + D) (x + 2) (x - 2)$

Étape 1.1.9.12

Développez $(C x + D) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.9.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x (x + 2) + D (x + 2)) (x - 2)$

Étape 1.1.9.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x \cdot x + C x \cdot 2 + D (x + 2)) (x - 2)$

Étape 1.1.9.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x \cdot x + C x \cdot 2 + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

Étape 1.1.9.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.13.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.9.13.1.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C (x \cdot x) + C x \cdot 2 + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

Étape 1.1.9.13.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x^{2} + C x \cdot 2 + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

Étape 1.1.9.13.2

Déplacez $2$ à gauche de $C x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x^{2} + 2 \cdot (C x) + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

Étape 1.1.9.13.3

Déplacez $2$ à gauche de $D$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x^{2} + 2 C x + D x + 2 D) (x - 2)$

Étape 1.1.9.14

Développez $(C x^{2} + 2 C x + D x + 2 D) (x - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + D x \cdot - 2 + 2 D x + 2 D \cdot - 2$

Étape 1.1.9.15

Associez les termes opposés dans $C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + D x \cdot - 2 + 2 D x + 2 D \cdot - 2$ .

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Étape 1.1.9.15.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $D x \cdot - 2$ et $2 D x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x - 2 D x + 2 D x + 2 D \cdot - 2$

Étape 1.1.9.15.2

Additionnez $- 2 D x$ et $2 D x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 0 + 2 D \cdot - 2$

Étape 1.1.9.15.3

Additionnez $C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x$ et $0$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Étape 1.1.9.16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.16.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.9.16.1.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Étape 1.1.9.16.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.9.16.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Étape 1.1.9.16.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{1 + 2} + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Étape 1.1.9.16.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Étape 1.1.9.16.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $C x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 \cdot (C x^{2}) + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Étape 1.1.9.16.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.9.16.3.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C (x \cdot x) + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Étape 1.1.9.16.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Étape 1.1.9.16.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Étape 1.1.9.16.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.9.16.5.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D (x \cdot x) + 2 D \cdot - 2$

Étape 1.1.9.16.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x^{2} + 2 D \cdot - 2$

Étape 1.1.9.16.6

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Étape 1.1.9.17

Associez les termes opposés dans $C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.9.17.1

Additionnez $- 2 C x^{2}$ et $2 C x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} + 0 - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Étape 1.1.9.17.2

Additionnez $C x^{3}$ et $0$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Étape 1.1.10

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.10.1

Déplacez $A$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Étape 1.1.10.2

Déplacez $A$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Étape 1.1.10.3

Remettez dans l’ordre $B$ et $x^{3}$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Étape 1.1.10.4

Déplacez $B$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 x B + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Étape 1.1.10.5

Déplacez $B$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Étape 1.1.10.6

Déplacez $4 B$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} + 4 B - 4 D$

Étape 1.1.10.7

Déplacez $- 4 A$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.1.10.8

Déplacez $- 4 C x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + C x^{3} + D x^{2} - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.1.10.9

Déplacez $2 x B$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x^{2} B + C x^{3} + D x^{2} + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.1.10.10

Déplacez $2 x A$ .

$x^{2} = A x^{3} - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x^{2} B + C x^{3} + D x^{2} + 2 x A + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.1.10.11

Déplacez $2 x^{2} B$ .

$x^{2} = A x^{3} - 2 x^{2} A + B x^{3} + C x^{3} + 2 x^{2} B + D x^{2} + 2 x A + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.1.10.12

Déplacez $- 2 x^{2} A$ .

$x^{2} = A x^{3} + B x^{3} + C x^{3} - 2 x^{2} A + 2 x^{2} B + D x^{2} + 2 x A + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{3}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B + C$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = - 2 A + 2 B + D$

Étape 1.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

Étape 1.2.4

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.2.5

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + B + C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = A + B + C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Résolvez $A$ dans $0 = A + B + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + B + C = 0$ .

$A + B + C = 0$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.3.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.2.1

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A + C = - B$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.3.1.2.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$A = - B - C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$A = - B - C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$A = - B - C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- B - C$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $1 = - 2 A + 2 B + D$ par $- B - C$ .

$1 = - 2 (- B - C) + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1

Simplifiez $- 2 (- B - C) + 2 B + D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = - 2 (- B) - 2 (- C) + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.3.2.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$1 = 2 B - 2 (- C) + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.3.2.2.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$1 = 2 B + 2 C + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$1 = 2 B + 2 C + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.3.2.2.1.2

Additionnez $2 B$ et $2 B$ .

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = 2 A + 2 B - 4 C$ par $- B - C$ .

$0 = 2 (- B - C) + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.3.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.4.1

Simplifiez $2 (- B - C) + 2 B - 4 C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 = 2 (- B) + 2 (- C) + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.3.2.4.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 = - 2 B + 2 (- C) + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.3.2.4.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 = - 2 B - 2 C + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 2 B - 2 C + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.3.2.4.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.4.1.2.1

Associez les termes opposés dans $- 2 B - 2 C + 2 B - 4 C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.4.1.2.1.1

Additionnez $- 2 B$ et $2 B$ .

$0 = - 2 C + 0 - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.3.2.4.1.2.1.2

Additionnez $- 2 C$ et $0$ .

$0 = - 2 C - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 2 C - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.3.2.4.1.2.2

Soustrayez $4 C$ de $- 2 C$ .

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Étape 1.3.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = - 4 A + 4 B - 4 D$ par $- B - C$ .

$0 = - 4 (- B - C) + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Étape 1.3.2.6

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.6.1

Simplifiez $- 4 (- B - C) + 4 B - 4 D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.6.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.6.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 = - 4 (- B) - 4 (- C) + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Étape 1.3.2.6.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$0 = 4 B - 4 (- C) + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Étape 1.3.2.6.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$0 = 4 B + 4 C + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 4 B + 4 C + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Étape 1.3.2.6.1.2

Additionnez $4 B$ et $4 B$ .

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Étape 1.3.3

Résolvez $C$ dans $0 = - 6 C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 6 C = 0$ .

$- 6 C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Étape 1.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- 6 C = 0$ par $- 6$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 6 C = 0$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 C}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Étape 1.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 C}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Étape 1.3.3.2.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Étape 1.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.2.3.1

Divisez $0$ par $- 6$ .

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Étape 1.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $0$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $0 = 8 B + 4 C - 4 D$ par $0$ .

$0 = 8 B + 4 (0) - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1

Simplifiez $8 B + 4 (0) - 4 D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 = 8 B + 0 - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Étape 1.3.4.2.1.2

Additionnez $8 B$ et $0$ .

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Étape 1.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $1 = 4 B + 2 C + D$ par $0$ .

$1 = 4 B + 2 (0) + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

Étape 1.3.4.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.4.1

Simplifiez $4 B + 2 (0) + D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.4.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$1 = 4 B + 0 + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

Étape 1.3.4.4.1.2

Additionnez $4 B$ et $0$ .

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

Étape 1.3.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $A = - B - C$ par $0$ .

$A = - B - (0)$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

Étape 1.3.4.6

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.6.1

Soustrayez $0$ de $- B$ .

$A = - B$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

Étape 1.3.5

Résolvez $D$ dans $1 = 4 B + D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $4 B + D = 1$ .

$4 B + D = 1$

$A = - B$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

Étape 1.3.5.2

Soustrayez $4 B$ des deux côtés de l’équation.

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

Étape 1.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $D$ par $1 - 4 B$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $D$ dans $0 = 8 B - 4 D$ par $1 - 4 B$ .

$0 = 8 B - 4 (1 - 4 B)$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.2.1

Simplifiez $8 B - 4 (1 - 4 B)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 = 8 B - 4 \cdot 1 - 4 (- 4 B)$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.6.2.1.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$0 = 8 B - 4 - 4 (- 4 B)$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.6.2.1.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$0 = 8 B - 4 + 16 B$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 8 B - 4 + 16 B$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.6.2.1.2

Additionnez $8 B$ et $16 B$ .

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.7

Résolvez $B$ dans $0 = 24 B - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.1

Réécrivez l’équation comme $24 B - 4 = 0$ .

$24 B - 4 = 0$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.7.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$24 B = 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.7.3

Divisez chaque terme dans $24 B = 4$ par $24$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.3.1

Divisez chaque terme dans $24 B = 4$ par $24$ .

$\frac{24 B}{24} = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.3.2.1

Annulez le facteur commun de $24$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{24 B}{24} = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.7.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.7.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.3.3.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $24$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.3.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$B = \frac{4 (1)}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.7.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.3.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$B = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.7.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$B = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.7.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{1}{6}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $D = 1 - 4 B$ par $\frac{1}{6}$ .

$D = 1 - 4 (\frac{1}{6})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.8.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.2.1

Simplifiez $1 - 4 (\frac{1}{6})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.2.1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$D = 1 + 2 (- 2) (\frac{1}{6})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.8.2.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$D = 1 + 2 \cdot (- 2 \frac{1}{2 \cdot 3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.8.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$D = 1 + 2 \cdot (- 2 \frac{1}{2 \cdot 3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.8.2.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$D = 1 - 2 (\frac{1}{3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = 1 - 2 (\frac{1}{3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.8.2.1.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$D = 1 + \frac{- 2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.8.2.1.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$D = 1 - \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = 1 - \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.8.2.1.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.2.1.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$D = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.8.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$D = \frac{3 - 2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.8.2.1.2.3

Soustrayez $2$ de $3$ .

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Étape 1.3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = - B$ par $\frac{1}{6}$ .

$A = - (\frac{1}{6})$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

Étape 1.3.8.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.8.4.1

Multipliez $- 1$ par $\frac{1}{6}$ .

$A = - \frac{1}{6}$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{6}$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{6}$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

Étape 1.3.9

Indiquez toutes les solutions.

$A = - \frac{1}{6}, D = \frac{1}{3}, B = \frac{1}{6}, C = 0$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ , $C$ et $D$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{0 x + \frac{1}{3}}{x^{2} + 2}$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Multipliez $\frac{0 \cdot x + \frac{1}{3}}{x^{2} + 2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3}{3} \cdot \frac{0 \cdot x + \frac{1}{3}}{x^{2} + 2}$

Étape 1.5.1.2

Associez.

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x + \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + 2)}$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

Étape 1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x) + 1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

Étape 1.5.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{0 \cdot x + 1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

Étape 1.5.4.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{0 + 1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

Étape 1.5.4.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

Étape 1.5.5

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 \cdot 2}$

Étape 1.5.5.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 2$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 (2)}$

Étape 1.5.5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2}) + 3 (2)$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

Étape 1.5.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

Étape 1.5.7

Multipliez $\frac{1}{x + 2}$ par $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{(x + 2) \cdot 6} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

Étape 1.5.8

Déplacez $6$ à gauche de $x + 2$ .

$- \frac{1}{6 (x + 2)} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

Étape 1.5.9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{6 (x + 2)} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

Étape 1.5.10

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{1}{x - 2}$ .

$\int - \frac{1}{6 (x + 2)} + \frac{1}{6 (x - 2)} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - \frac{1}{6 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{x + 2} d x) + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Étape 5

Laissez $u_{1} = x + 2$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Laissez $u_{1} = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 5.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} \int \frac{1}{x - 2} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Étape 8

Laissez $u_{2} = x - 2$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Laissez $u_{2} = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 8.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 8.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Étape 10

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2} + 2} d x$

Étape 11

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $2$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{2 + x^{2}} d x$

Étape 12

Réécrivez $2$ comme ${\sqrt{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2} + x^{2}} d x$

Étape 13

L’intégrale de $\frac{1}{{\sqrt{2}}^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} (\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C)$

Étape 14

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Associez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} (\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})}{\sqrt{2}} + C)$

Étape 14.2

Simplifiez

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$

Étape 14.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{3 \sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$

Étape 15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 2$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{3 \sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$

Étape 15.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 2$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{6} \ln (| x - 2 |) + \frac{1}{3 \sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$