Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 1.2

Retirez $t^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Étape 1.3

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Étape 1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int_{1}^{4} t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Étape 1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{4} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $2 t^{\frac{1}{2}}$ sur $4$ et sur $1$ .

$(2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2.4

Évaluez l’exposant.

$2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 - 2 \cdot 1$

Étape 3.2.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$4 - 2$

Étape 3.2.8

Soustrayez $2$ de $4$ .

$2$

Étape 4