Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{x}} - 5 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Étape 2.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{2}^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{3} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int_{2}^{3} x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{2}^{3} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{3} + - 5 x]_{2}^{3}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{3}$ et $- 5 x]_{2}^{3}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} - 5 x]_{2}^{3}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $2 x^{\frac{1}{2}} - 5 x$ sur $3$ et sur $2$ .

$(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot 3) - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $2$ par $2^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.2.1

Multipliez $2$ par $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

Étape 5.2.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{1 + \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

Étape 5.2.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

Étape 5.2.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{\frac{2 + 1}{2}} - 5 \cdot 2)$

Étape 5.2.2.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{\frac{3}{2}} - 5 \cdot 2)$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{\frac{3}{2}} - 10)$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - 2^{\frac{3}{2}} - - 10$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - 2^{\frac{3}{2}} + 10$

Étape 5.3.2

Additionnez $- 15$ et $10$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 5 - 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 5 - 2^{\frac{3}{2}}$

Forme décimale :

$- 4.36432550 \dots$

Étape 7