Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{7} x \sqrt{4 x^{2} + 9} d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 x^{2} + 9$ . Alors $d u = 8 x d x$ , donc $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 x^{2} + 9$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$8 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 4 x^{2} + 9$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 1^{2} + 9$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = 4 \cdot 1 + 9$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$u_{lower} = 4 + 9$

Étape 1.3.2

Additionnez $4$ et $9$ .

$u_{lower} = 13$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 4 x^{2} + 9$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 7^{2} + 9$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 49 + 9$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $4$ par $49$ .

$u_{upper} = 196 + 9$

Étape 1.5.2

Additionnez $196$ et $9$ .

$u_{upper} = 205$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 13$

$u_{upper} = 205$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{13}^{205} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Étape 2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{8}$ .

$\int_{13}^{205} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{13}^{205}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $205$ et sur $13$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 205^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $205^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2

Associez $13^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{13^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Étape 6.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $13^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 7.2

Associez.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

Étape 7.3.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

Étape 7.3.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

Étape 7.3.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

Étape 7.3.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

Étape 7.4

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3}$

Étape 7.5

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Étape 7.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.6.1

Factorisez $2$ à partir de $1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Étape 7.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Étape 7.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Étape 7.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 \cdot (205^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Étape 7.6.3

Multipliez $205^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Étape 7.6.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Étape 7.6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Forme décimale :

$240.69009594 \dots$

Étape 9