Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x}$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = e^{x + h}$

Étape 2.1.2

La réponse finale est $e^{x + h}$ .

$e^{x + h}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = e^{x + h}$

$f (x) = e^{x}$

$f (x + h) = e^{x + h}$

$f (x) = e^{x}$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - (e^{x})}{h}$

Étape 4

Multipliez $- 1$ par $e^{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^{x}}{h}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x + h} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x + h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{h \to 0} x + h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{e^{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.1.4

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{e^{x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.1.5

Évaluez la limite de $e^{x}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{e^{x + lim_{h \to 0} h} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{e^{x + 0} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.3

Associez les termes opposés dans $e^{x + 0} - e^{x}$ .

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Étape 5.1.2.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{e^{x} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.2.3.2

Soustrayez $e^{x}$ de $e^{x}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^{x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h} - e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h} - e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x + h} - e^{x}$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [e^{x + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3

Évaluez $\frac{d}{d h} [e^{x + h}]$ .

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Étape 5.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = e^{h}$ et $g (h) = x + h$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.3

Comme $x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.3.6

Multipliez $e^{x + h}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.4

Comme $- e^{x}$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- e^{x}$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.5

Additionnez $e^{x + h}$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 5.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h}}{1}$

Étape 5.4

Divisez $e^{x + h}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} e^{x + h}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{h \to 0} x + h}$

Étape 6.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$e^{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Étape 6.3

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$e^{x + lim_{h \to 0} h}$

Étape 7

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$e^{x + 0}$

Étape 8

Additionnez $x$ et $0$ .

$e^{x}$

Étape 9