Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Multipliez $x^{2} + 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.7

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2.7

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez.

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Étape 1.1.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.5.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.2

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.3

Développez $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.5.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.2.5.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.4.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.4.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.2.5.3.1.6.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.6.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8

Simplifiez

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Étape 1.1.2.5.3.1.8.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.5.3.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.9.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.5.3.1.10.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.1.2.5.3.1.10.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.10.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.10.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.11

Développez $(4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} (x^{3} + x) - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.2.5.3.1.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.2

Soustrayez $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.3

Additionnez $4 x^{5}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.2

Additionnez $- 2 x^{5}$ et $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.3

Soustrayez $4 x$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.5.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x$ .

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Étape 1.1.2.5.4.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.1.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.1.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.4

Factorisez $u^{2} - 2 u - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.2.5.4.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 1.1.2.5.4.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.5

Annulez le facteur commun à $x^{2} + 1$ et ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Étape 1.1.2.5.5.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.5.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x (x^{2} - 3) = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 1.2.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.3.3

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.3.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 1.2.3.3.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.3.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 1.2.3.3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.3.3.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 1.2.3.3.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 1.2.3.3.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 1.2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (x^{2} - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

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Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{x^{2} + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - \sqrt{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 3)}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} - 3)}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} - 3)}{{(16 + 1)}^{3}}$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $16$ et $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} - 3)}{17^{3}}$

Étape 4.2.2.3

Élevez $17$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} - 3)}{4913}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (16 - 3)}{4913}$

Étape 4.2.3.2

Soustrayez $3$ de $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 13}{4913}$

Étape 4.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Multipliez $- 8$ par $13$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 104}{4913}$

Étape 4.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 4) = - \frac{104}{4913}$

Étape 4.2.5

La réponse finale est $- \frac{104}{4913}$ .

$- \frac{104}{4913}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - \sqrt{3})$ car $f'' (- 4)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - \sqrt{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \sqrt{3}, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f'' (- 1) = \frac{2 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{2^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{8}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 (1 - 3)}{8}$

Étape 5.2.3.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 \cdot - 2}{8}$

Étape 5.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f'' (- 1) = \frac{4}{8}$

Étape 5.2.4.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f'' (- 1) = \frac{4 (1)}{8}$

Étape 5.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f'' (- 1) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Étape 5.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 1) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Étape 5.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 1) = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.5

La réponse finale est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \sqrt{3}, 0)$ car $f'' (- 1)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \sqrt{3}, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \sqrt{3})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f'' (1) = \frac{2 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(1^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{2^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{8}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = \frac{2 (1 - 3)}{8}$

Étape 6.2.3.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 \cdot - 2}{8}$

Étape 6.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (1) = \frac{- 4}{8}$

Étape 6.2.4.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f'' (1) = \frac{4 (- 1)}{8}$

Étape 6.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f'' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Étape 6.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Étape 6.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (1) = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (1) = - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.5

La réponse finale est $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(0, \sqrt{3})$ car $f'' (1)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(0, \sqrt{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\sqrt{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} - 3)}{{({(4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} - 3)}{{(4^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} - 3)}{{(16 + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $16$ et $1$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} - 3)}{17^{3}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $17$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} - 3)}{4913}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 (16 - 3)}{4913}$

Étape 7.2.3.2

Soustrayez $3$ de $16$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 13}{4913}$

Étape 7.2.4

Multipliez $8$ par $13$ .

$f'' (4) = \frac{104}{4913}$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $\frac{104}{4913}$ .

$\frac{104}{4913}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(\sqrt{3}, \infty)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(\sqrt{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - \sqrt{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- \sqrt{3}, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(0, \sqrt{3})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(\sqrt{3}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9