Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 2 x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 4 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 4$ .

$12 x^{2} - 4$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 4 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$12 x^{2} = 4$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 4$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 4$ par $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{12}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Étape 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.5.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.5.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ dans $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt{3}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.1.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.1.2.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.1.2.1.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.1.2.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.1.2.1.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.1.2.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.1.2.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.1.2.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.1.2.1.2.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.1.2.1.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.1.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à $9$ et $81$ .

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Étape 3.1.2.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1.4.2.1

Factorisez $9$ à partir de $81$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.1.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 3$

Étape 3.1.2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.1.2.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 3$

Étape 3.1.2.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 3$

Étape 3.1.2.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 3$

Étape 3.1.2.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 3$

Étape 3.1.2.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 3$

Étape 3.1.2.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 3$

Étape 3.1.2.1.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9}) + 3$

Étape 3.1.2.1.8

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 3.1.2.1.8.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9} + 3$

Étape 3.1.2.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 3$

Étape 3.1.2.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 3$

Étape 3.1.2.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3}) + 3$

Étape 3.1.2.1.9

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3} + 3$

Étape 3.1.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 3$

Étape 3.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.1.2.2.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 3$

Étape 3.1.2.2.3

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

Étape 3.1.2.2.4

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 3.1.2.2.5

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Étape 3.1.2.2.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Étape 3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 3 \cdot 9}{9}$

Étape 3.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 3 \cdot 9}{9}$

Étape 3.1.2.4.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 27}{9}$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.1.2.5.1

Soustrayez $6$ de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 + 27}{9}$

Étape 3.1.2.5.2

Additionnez $- 5$ et $27$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{22}{9}$

Étape 3.1.2.6

La réponse finale est $\frac{22}{9}$ .

$\frac{22}{9}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{\sqrt{3}}{3}$ dans $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ est $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$

Étape 3.3

Remplacez $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.1.4.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2.1.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2.1.4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2.1.4.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.3.2.1.4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2.1.4.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1.4.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2.1.4.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2.1.4.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2.1.4.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2.1.4.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2.1.6

Annulez le facteur commun à $9$ et $81$ .

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Étape 3.3.2.1.6.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1.6.2.1

Factorisez $9$ à partir de $81$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Étape 3.3.2.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.3.2.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 3$

Étape 3.3.2.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 3$

Étape 3.3.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 3$

Étape 3.3.2.1.9

Multipliez $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 3$

Étape 3.3.2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.3.2.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 3$

Étape 3.3.2.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 3$

Étape 3.3.2.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 3$

Étape 3.3.2.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 3$

Étape 3.3.2.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 3$

Étape 3.3.2.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 3$

Étape 3.3.2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9}) + 3$

Étape 3.3.2.1.12

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 3.3.2.1.12.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9} + 3$

Étape 3.3.2.1.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1.12.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 3$

Étape 3.3.2.1.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 3$

Étape 3.3.2.1.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3}) + 3$

Étape 3.3.2.1.13

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3} + 3$

Étape 3.3.2.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 3$

Étape 3.3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.3.2.2.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

Étape 3.3.2.2.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 3$

Étape 3.3.2.2.3

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

Étape 3.3.2.2.4

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 3.3.2.2.5

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Étape 3.3.2.2.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Étape 3.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 3 \cdot 9}{9}$

Étape 3.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 3 \cdot 9}{9}$

Étape 3.3.2.4.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 27}{9}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.3.2.5.1

Soustrayez $6$ de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 + 27}{9}$

Étape 3.3.2.5.2

Additionnez $- 5$ et $27$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{22}{9}$

Étape 3.3.2.6

La réponse finale est $\frac{22}{9}$ .

$\frac{22}{9}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ est $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.67735026$ dans l’expression.

$f'' (- 0.67735026) = 12 {(- 0.67735026)}^{2} - 4$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 0.67735026$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 5.50564064 - 4$

Étape 5.2.2

Soustrayez $4$ de $5.50564064$ .

$f'' (- 0.67735026) = 1.50564064$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $1.50564064$ .

$1.50564064$

Étape 5.3

Sur $- 0.67735026$ , la dérivée seconde est $1.50564064$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 4$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 4$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Étape 6.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 6.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $- 4$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

Diminue sur $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.67735026$ dans l’expression.

$f'' (0.67735026) = 12 {(0.67735026)}^{2} - 4$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $0.67735026$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 5.50564064 - 4$

Étape 7.2.2

Soustrayez $4$ de $5.50564064$ .

$f'' (0.67735026) = 1.50564064$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $1.50564064$ .

$1.50564064$

Étape 7.3

Sur $0.67735026$ , la dérivée seconde est $1.50564064$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$ .

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$

Étape 9