Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x + 2017$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x + 2017$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 72$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 72 x$ par rapport à $x$ est $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x - 72 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2017)$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2017)$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $- 72$ par $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x - 72 + \frac{d}{d x} (2017)$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $2017$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2017$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x - 72 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $6 x^{2} - 24 x - 72$ et $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x - 72$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} - 24 x - 72$ .

$6 x^{2} - 24 x - 72$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} - 24 x - 72 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{2} - 24 x - 72 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} - 24 x - 72$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 24 x - 72 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 24 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 4 x) - 72 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $6$ à partir de $- 72$ .

$6 x^{2} + 6 (- 4 x) + 6 \cdot - 12 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 6 (- 4 x)$ .

$6 (x^{2} - 4 x) + 6 \cdot - 12 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2} - 4 x) + 6 \cdot - 12$ .

$6 (x^{2} - 4 x - 12) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 4 x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 6, 2$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$6 ((x - 6) (x + 2)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (x - 6) (x + 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 2.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (x - 6) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 6, - 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $2 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x + 2017$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 6$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $6$ .

$2 {(6)}^{3} - 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 2017$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 216 - 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 2017$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $216$ .

$432 - 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 2017$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$432 - 12 \cdot 36 - 72 \cdot 6 + 2017$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 12$ par $36$ .

$432 - 432 - 72 \cdot 6 + 2017$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $- 72$ par $6$ .

$432 - 432 - 432 + 2017$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $432$ de $432$ .

$0 - 432 + 2017$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $432$ de $0$ .

$- 432 + 2017$

Étape 4.1.2.2.3

Additionnez $- 432$ et $2017$ .

$1585$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$2 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2 + 2017$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 8 - 12 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2 + 2017$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$- 16 - 12 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2 + 2017$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 16 - 12 \cdot 4 - 72 \cdot - 2 + 2017$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$- 16 - 48 - 72 \cdot - 2 + 2017$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $- 72$ par $- 2$ .

$- 16 - 48 + 144 + 2017$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $48$ de $- 16$ .

$- 64 + 144 + 2017$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $- 64$ et $144$ .

$80 + 2017$

Étape 4.2.2.2.3

Additionnez $80$ et $2017$ .

$2097$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(6, 1585), (- 2, 2097)$

Étape 5