Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ , $0 < x < 2.5$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 34 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 34$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 34 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 34 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 34 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{2} - 34 (2 x) + \frac{d}{d x} [60 x]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 34$ .

$12 x^{2} - 68 x + \frac{d}{d x} [60 x]$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [60 x]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $60 x$ par rapport à $x$ est $60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 68 x + 60 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{2} - 68 x + 60 \cdot 1$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $60$ par $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 68 x + 60$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} - 68 x + 60$ .

$12 x^{2} - 68 x + 60$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} - 68 x + 60 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $12 x^{2} - 68 x + 60$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12 x^{2}$ .

$4 (3 x^{2}) - 68 x + 60 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 68 x$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 17 x) + 60 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 17 x) + 4 (15) = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (3 x^{2}) + 4 (- 17 x)$ .

$4 (3 x^{2} - 17 x) + 4 (15) = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (3 x^{2} - 17 x) + 4 (15)$ .

$4 (3 x^{2} - 17 x + 15) = 0$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $4 (3 x^{2} - 17 x + 15) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 (3 x^{2} - 17 x + 15) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (3 x^{2} - 17 x + 15)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (3 x^{2} - 17 x + 15)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $3 x^{2} - 17 x + 15$ par $1$ .

$3 x^{2} - 17 x + 15 = \frac{0}{4}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$3 x^{2} - 17 x + 15 = 0$

Étape 1.2.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 17$ et $c = 15$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 15)}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6

Simplifiez

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $- 17$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 15$ .

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Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 12 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $15$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 180}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6.1.3

Soustrayez $180$ de $289$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{6}$

Étape 1.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.1.1

Élevez $- 17$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 15$ .

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Étape 1.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 12 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $15$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 180}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.7.1.3

Soustrayez $180$ de $289$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{6}$

Étape 1.2.7.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.8.1.1

Élevez $- 17$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 15$ .

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Étape 1.2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 12 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.8.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $15$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 180}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.8.1.3

Soustrayez $180$ de $289$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{6}$

Étape 1.2.8.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

Étape 1.2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}, \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ .

$4 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{3} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ .

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{6^{3}} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.2

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{216} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.4.1.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $216$ .

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{4 (54)} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{4 \cdot 54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.4

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{17^{3} + 3 \cdot 17^{2} \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.5.1

Élevez $17$ à la puissance $3$ .

$\frac{4913 + 3 \cdot 17^{2} \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.5.2

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$\frac{4913 + 3 \cdot 289 \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.5.3

Multipliez $3$ par $289$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.5.4

Multipliez $3$ par $17$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.5.5

Réécrivez ${\sqrt{109}}^{2}$ comme $109$ .

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Étape 1.4.1.2.1.5.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{109}$ comme $109^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 {(109^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.5.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.5.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.5.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1.2.1.5.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.5.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{1} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.5.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109 + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.5.6

Multipliez $51$ par $109$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.5.7

Réécrivez ${\sqrt{109}}^{3}$ comme $\sqrt{109^{3}}$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{109^{3}}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.5.8

Élevez $109$ à la puissance $3$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{1295029}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.5.9

Réécrivez $1295029$ comme $109^{2} \cdot 109$ .

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Étape 1.4.1.2.1.5.9.1

Factorisez $11881$ à partir de $1295029$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{11881 (109)}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.5.9.2

Réécrivez $11881$ comme $109^{2}$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{109^{2} \cdot 109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.5.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.6

Additionnez $4913$ et $5559$ .

$\frac{10472 + 867 \sqrt{109} + 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.7

Additionnez $867 \sqrt{109}$ et $109 \sqrt{109}$ .

$\frac{10472 + 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.8

Annulez le facteur commun à $10472 + 976 \sqrt{109}$ et $54$ .

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Étape 1.4.1.2.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $10472$ .

$\frac{2 (5236) + 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $976 \sqrt{109}$ .

$\frac{2 (5236) + 2 (488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (5236) + 2 (488 \sqrt{109})$ .

$\frac{2 (5236 + 488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.1.8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $54$ .

$\frac{2 (5236 + 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.8.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5236 + 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.8.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{6^{2}} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.10

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1.2.1.11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 34$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + 2 (- 17) \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.11.2

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.11.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.11.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 17 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.12

Associez $- 17$ et $\frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{18}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 {(17 + \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.13

Réécrivez ${(17 + \sqrt{109})}^{2}$ comme $(17 + \sqrt{109}) (17 + \sqrt{109})$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 ((17 + \sqrt{109}) (17 + \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.14

Développez $(17 + \sqrt{109}) (17 + \sqrt{109})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 (17 + \sqrt{109}) + \sqrt{109} (17 + \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.14.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} (17 + \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.14.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} \cdot 17 + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.15

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.1.2.1.15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.15.1.1

Multipliez $17$ par $17$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} \cdot 17 + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.15.1.2

Déplacez $17$ à gauche de $\sqrt{109}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \cdot \sqrt{109} + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.15.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109 \cdot 109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.15.1.4

Multipliez $109$ par $109$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + \sqrt{11881})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.15.1.5

Réécrivez $11881$ comme $109^{2}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109^{2}})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.15.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + 109)}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.15.2

Additionnez $289$ et $109$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.15.3

Additionnez $17 \sqrt{109}$ et $17 \sqrt{109}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 + 34 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.16

Annulez le facteur commun à $398 + 34 \sqrt{109}$ et $18$ .

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Étape 1.4.1.2.1.16.1

Factorisez $2$ à partir de $- 17 (398 + 34 \sqrt{109})$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 + 17 \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.1.16.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 + 17 \sqrt{109}))}{2 (9)} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 + 17 \sqrt{109}))}{2 \cdot 9} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.1.2.1.18

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.4.1.2.1.18.1

Factorisez $6$ à partir de $60$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 6 (10) \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$

Étape 1.4.1.2.1.18.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 6 \cdot 10 \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$

Étape 1.4.1.2.1.18.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 10 (17 + \sqrt{109})$

Étape 1.4.1.2.1.19

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 10 \cdot 17 + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.1.20

Multipliez $10$ par $17$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.2

Pour écrire $- \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $27$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 17 (199 + 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} + (- 17 \cdot 199 - 17 (17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.5.2

Multipliez $- 17$ par $199$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} + (- 3383 - 17 (17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.5.3

Multipliez $17$ par $- 17$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} + (- 3383 - 289 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 3383 \cdot 3 - 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.5.5

Multipliez $- 3383$ par $3$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 10149 - 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.5.6

Multipliez $3$ par $- 289$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 10149 - 867 \sqrt{109}}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.5.7

Soustrayez $10149$ de $5236$ .

$\frac{- 4913 + 488 \sqrt{109} - 867 \sqrt{109}}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.5.8

Soustrayez $867 \sqrt{109}$ de $488 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109}}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.6

Pour écrire $170$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109}}{27} + 170 \cdot \frac{27}{27} + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.7

Associez $170$ et $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{170 \cdot 27}{27} + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.1.2.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109} + 170 \cdot 27}{27} + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.8.2

Multipliez $170$ par $27$ .

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109} + 4590}{27} + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.8.3

Additionnez $- 4913$ et $4590$ .

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109}}{27} + 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.1.2.9

Pour écrire $10 \sqrt{109}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109}}{27} + 10 \sqrt{109} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 1.4.1.2.10

Associez les fractions.

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Étape 1.4.1.2.10.1

Associez $10 \sqrt{109}$ et $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.1.2.10.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109} + 10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.1.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.2.11.1

Multipliez $27$ par $10$ .

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109} + 270 \sqrt{109}}{27}$

Étape 1.4.1.2.11.2

Additionnez $- 379 \sqrt{109}$ et $270 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 323 - 109 \sqrt{109}}{27}$

Étape 1.4.1.2.12

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.4.1.2.12.1

Réécrivez $- 323$ comme $- 1 (323)$ .

$\frac{- 1 (323) - 109 \sqrt{109}}{27}$

Étape 1.4.1.2.12.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 109 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 1 (323) - (109 \sqrt{109})}{27}$

Étape 1.4.1.2.12.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (323) - (109 \sqrt{109})$ .

$\frac{- 1 (323 + 109 \sqrt{109})}{27}$

Étape 1.4.1.2.12.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{323 + 109 \sqrt{109}}{27}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ .

$4 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{3} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ .

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{6^{3}} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{216} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.4.2.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $216$ .

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{4 (54)} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{4 \cdot 54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.4

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{17^{3} + 3 \cdot 17^{2} (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.5.1

Élevez $17$ à la puissance $3$ .

$\frac{4913 + 3 \cdot 17^{2} (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.2

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$\frac{4913 + 3 \cdot 289 (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.3

Multipliez $3$ par $289$ .

$\frac{4913 + 867 (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.4

Multipliez $- 1$ par $867$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.5

Multipliez $3$ par $17$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{109}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{109}}^{2}) + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 (1 {\sqrt{109}}^{2}) + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.8

Multipliez ${\sqrt{109}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 {\sqrt{109}}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.9

Réécrivez ${\sqrt{109}}^{2}$ comme $109$ .

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Étape 1.4.2.2.1.5.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{109}$ comme $109^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 {(109^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.5.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{1} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.9.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109 + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.10

Multipliez $51$ par $109$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.11

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{109}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.13

Réécrivez ${\sqrt{109}}^{3}$ comme $\sqrt{109^{3}}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{109^{3}}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.14

Élevez $109$ à la puissance $3$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{1295029}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.15

Réécrivez $1295029$ comme $109^{2} \cdot 109$ .

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Étape 1.4.2.2.1.5.15.1

Factorisez $11881$ à partir de $1295029$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{11881 (109)}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.15.2

Réécrivez $11881$ comme $109^{2}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{109^{2} \cdot 109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - (109 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.5.17

Multipliez $109$ par $- 1$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.6

Additionnez $4913$ et $5559$ .

$\frac{10472 - 867 \sqrt{109} - 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.7

Soustrayez $109 \sqrt{109}$ de $- 867 \sqrt{109}$ .

$\frac{10472 - 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.8

Annulez le facteur commun à $10472 - 976 \sqrt{109}$ et $54$ .

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Étape 1.4.2.2.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $10472$ .

$\frac{2 (5236) - 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 976 \sqrt{109}$ .

$\frac{2 (5236) + 2 (- 488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (5236) + 2 (- 488 \sqrt{109})$ .

$\frac{2 (5236 - 488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.1.8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $54$ .

$\frac{2 (5236 - 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.8.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5236 - 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.8.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{6^{2}} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.10

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 34$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + 2 (- 17) \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.11.2

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.11.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.11.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 17 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.12

Associez $- 17$ et $\frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{18}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 {(17 - \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.13

Réécrivez ${(17 - \sqrt{109})}^{2}$ comme $(17 - \sqrt{109}) (17 - \sqrt{109})$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 ((17 - \sqrt{109}) (17 - \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.14

Développez $(17 - \sqrt{109}) (17 - \sqrt{109})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.4.2.2.1.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 (17 - \sqrt{109}) - \sqrt{109} (17 - \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.14.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 (- \sqrt{109}) - \sqrt{109} (17 - \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.14.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 (- \sqrt{109}) - \sqrt{109} \cdot 17 - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.15

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.2.2.1.15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.15.1.1

Multipliez $17$ par $17$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 (- \sqrt{109}) - \sqrt{109} \cdot 17 - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.15.1.2

Multipliez $- 1$ par $17$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - \sqrt{109} \cdot 17 - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.15.1.3

Multipliez $17$ par $- 1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.15.1.4

Multipliez $- \sqrt{109} (- \sqrt{109})$ .

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Étape 1.4.2.2.1.15.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 1 \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.15.1.4.2

Multipliez $\sqrt{109}$ par $1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.15.1.4.3

Élevez $\sqrt{109}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{1} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.15.1.4.4

Élevez $\sqrt{109}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{1} {\sqrt{109}}^{1})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.15.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{1 + 1})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.15.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{2})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.15.1.5

Réécrivez ${\sqrt{109}}^{2}$ comme $109$ .

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Étape 1.4.2.2.1.15.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{109}$ comme $109^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {(109^{\frac{1}{2}})}^{2})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.15.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.15.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{\frac{2}{2}})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.15.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.15.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{\frac{2}{2}})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.15.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{1})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.15.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109)}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.15.2

Additionnez $289$ et $109$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.15.3

Soustrayez $17 \sqrt{109}$ de $- 17 \sqrt{109}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 - 34 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.16

Annulez le facteur commun à $398 - 34 \sqrt{109}$ et $18$ .

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Étape 1.4.2.2.1.16.1

Factorisez $2$ à partir de $- 17 (398 - 34 \sqrt{109})$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 - 17 \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.1.16.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 - 17 \sqrt{109}))}{2 (9)} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 - 17 \sqrt{109}))}{2 \cdot 9} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Étape 1.4.2.2.1.18

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.4.2.2.1.18.1

Factorisez $6$ à partir de $60$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 6 (10) \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

Étape 1.4.2.2.1.18.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 6 \cdot 10 \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

Étape 1.4.2.2.1.18.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 10 (17 - \sqrt{109})$

Étape 1.4.2.2.1.19

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 10 \cdot 17 + 10 (- \sqrt{109})$

Étape 1.4.2.2.1.20

Multipliez $10$ par $17$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 170 + 10 (- \sqrt{109})$

Étape 1.4.2.2.1.21

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.2.2.2

Pour écrire $- \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $27$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.2.2.3.1

Multipliez $\frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.2.2.3.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 17 (199 - 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.2.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} + (- 17 \cdot 199 - 17 (- 17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.2.2.5.2

Multipliez $- 17$ par $199$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} + (- 3383 - 17 (- 17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.2.2.5.3

Multipliez $- 17$ par $- 17$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} + (- 3383 + 289 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.2.2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 3383 \cdot 3 + 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.2.2.5.5

Multipliez $- 3383$ par $3$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 10149 + 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.2.2.5.6

Multipliez $3$ par $289$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 10149 + 867 \sqrt{109}}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.2.2.5.7

Soustrayez $10149$ de $5236$ .

$\frac{- 4913 - 488 \sqrt{109} + 867 \sqrt{109}}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.2.2.5.8

Additionnez $- 488 \sqrt{109}$ et $867 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109}}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.2.2.6

Pour écrire $170$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109}}{27} + 170 \cdot \frac{27}{27} - 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.2.2.7

Associez $170$ et $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{170 \cdot 27}{27} - 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.2.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.2.2.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109} + 170 \cdot 27}{27} - 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.2.2.8.2

Multipliez $170$ par $27$ .

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109} + 4590}{27} - 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.2.2.8.3

Additionnez $- 4913$ et $4590$ .

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109}}{27} - 10 \sqrt{109}$

Étape 1.4.2.2.9

Pour écrire $- 10 \sqrt{109}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109}}{27} - 10 \sqrt{109} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 1.4.2.2.10

Associez les fractions.

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Étape 1.4.2.2.10.1

Associez $- 10 \sqrt{109}$ et $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.2.2.10.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109} - 10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.2.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.2.2.11.1

Multipliez $27$ par $- 10$ .

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109} - 270 \sqrt{109}}{27}$

Étape 1.4.2.2.11.2

Soustrayez $270 \sqrt{109}$ de $379 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 323 + 109 \sqrt{109}}{27}$

Étape 1.4.2.2.12

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.4.2.2.12.1

Réécrivez $- 323$ comme $- 1 (323)$ .

$\frac{- 1 (323) + 109 \sqrt{109}}{27}$

Étape 1.4.2.2.12.2

Factorisez $- 1$ à partir de $109 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 1 (323) - (- 109 \sqrt{109})}{27}$

Étape 1.4.2.2.12.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (323) - (- 109 \sqrt{109})$ .

$\frac{- 1 (323 - 109 \sqrt{109})}{27}$

Étape 1.4.2.2.12.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{17 + \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 + 109 \sqrt{109}}{27}), (\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27})$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27})$

Étape 3

Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.

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Étape 3.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{17 - \sqrt{109}}{6}) \cup (\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, \frac{17 + \sqrt{109}}{6}) \cup (\frac{17 + \sqrt{109}}{6}, \infty)$

Étape 3.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, \frac{17 - \sqrt{109}}{6})$ dans la dérivée première $12 x^{2} - 68 x + 60$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 12 {(0)}^{2} - 68 \cdot 0 + 60$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 12 \cdot 0 - 68 \cdot 0 + 60$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 68 \cdot 0 + 60$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $- 68$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 60$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.2.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 + 60$

Étape 3.2.2.2.2

Additionnez $0$ et $60$ .

$f' (0) = 60$

Étape 3.2.2.3

La réponse finale est $60$ .

$60$

Étape 3.3

Remplacez tout nombre, tel que $3$ , de l’intervalle $(\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, \frac{17 + \sqrt{109}}{6})$ dans la dérivée première $12 x^{2} - 68 x + 60$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 12 {(3)}^{2} - 68 \cdot 3 + 60$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (3) = 12 \cdot 9 - 68 \cdot 3 + 60$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $12$ par $9$ .

$f' (3) = 108 - 68 \cdot 3 + 60$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $- 68$ par $3$ .

$f' (3) = 108 - 204 + 60$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.3.2.2.1

Soustrayez $204$ de $108$ .

$f' (3) = - 96 + 60$

Étape 3.3.2.2.2

Additionnez $- 96$ et $60$ .

$f' (3) = - 36$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- 36$ .

$- 36$

Étape 3.4

Remplacez tout nombre, tel que $7$ , de l’intervalle $(\frac{17 + \sqrt{109}}{6}, \infty)$ dans la dérivée première $12 x^{2} - 68 x + 60$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.4.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f' (7) = 12 {(7)}^{2} - 68 \cdot 7 + 60$

Étape 3.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f' (7) = 12 \cdot 49 - 68 \cdot 7 + 60$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $12$ par $49$ .

$f' (7) = 588 - 68 \cdot 7 + 60$

Étape 3.4.2.1.3

Multipliez $- 68$ par $7$ .

$f' (7) = 588 - 476 + 60$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.4.2.2.1

Soustrayez $476$ de $588$ .

$f' (7) = 112 + 60$

Étape 3.4.2.2.2

Additionnez $112$ et $60$ .

$f' (7) = 172$

Étape 3.4.2.3

La réponse finale est $172$ .

$172$

Étape 3.5

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ , $x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ est un maximum local.

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ est un maximum local

Étape 3.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ , $x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ est un minimum local.

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ est un minimum local

Étape 3.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ .

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ est un maximum local

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ est un minimum local

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ est un maximum local

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ est un minimum local

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27})$

Aucun minimum absolu

Étape 5