Calcul infinitésimal Exemples

$x = \tan (y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan (y))$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\sec^{2} (y) y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \sec^{2} (y) y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\sec^{2} (y) y' = 1$ .

$\sec^{2} (y) y' = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $\sec^{2} (y) y' = 1$ par $\sec^{2} (y)$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $\sec^{2} (y) y' = 1$ par $\sec^{2} (y)$ .

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $\sec^{2} (y)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ comme ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$y' = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez $\sec (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2}$

Étape 5.2.3.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = {(1 \cos (y))}^{2}$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $\cos (y)$ par $1$ .

$y' = \cos^{2} (y)$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (y) = \pm \sqrt{0}$

Étape 7.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 7.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\cos (y) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 7.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (y) = \pm 0$

Étape 7.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\cos (y) = 0$

Étape 7.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du cosinus.

$y = \arccos (0)$

Étape 7.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Étape 7.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$y = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 7.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 7.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 7.6.2

Associez les fractions.

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Étape 7.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 7.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 7.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.6.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 7.6.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$y = \frac{3 π}{2}$

Étape 7.7

Déterminez la période de $\cos (y)$ .

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Étape 7.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.8

La période de la fonction $\cos (y)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$y = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7.9

Consolidez les réponses.

$y = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $\tan (y) = \frac{π}{2} + π n$ .

$\tan (y) = \frac{π}{2} + π n$

Étape 8.2

Remettez dans l’ordre $\frac{π}{2}$ et $π n$ .

$\tan (y) = π n + \frac{π}{2}$

Étape 8.3

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la tangente.

$y = \arctan (π n + \frac{π}{2})$

Étape 9

Solve for $x$ when $y$ is $\arctan (π n + \frac{π}{2})$ .

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Étape 9.1

Supprimez les parenthèses.

$\arctan (π n + \frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + π n$

Étape 9.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$n = - \frac{1}{2}$

Étape 10

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{2}, \arctan (π n + \frac{π}{2}))$

Étape 11