Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + y^{2} = 8 x$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} = 8 x - x^{2}$

Étape 1.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{8 x - x^{2}}$

Étape 1.3

Factorisez $x$ à partir de $8 x - x^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $8 x$ .

$y = \pm \sqrt{x \cdot 8 - x^{2}}$

Étape 1.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x \cdot 8 + x (- x)}$

Étape 1.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 8 + x (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{x (8 - x)}$

Étape 1.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

Étape 1.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

Étape 1.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

$y = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt{x (8 - x)} \to f (x) = \sqrt{x (8 - x)}$

$y = - \sqrt{x (8 - x)} \to f (x) = - \sqrt{x (8 - x)}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} = 8 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Différenciez.

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Étape 3.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 3.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Étape 3.2.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y y' + 2 x$

Étape 3.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$8$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' + 2 x = 8$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 3.5.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y y' = 8 - 2 x$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $2 y y' = 8 - 2 x$ par $2 y$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' = 8 - 2 x$ par $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 3.5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{8}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y' = \frac{2 \cdot 4}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 3.5.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{2 \cdot 4}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 3.5.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 \cdot 4}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 3.5.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{4}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 3.5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{4}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{4}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{4}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{4}{y} + \frac{- x}{y}$

Étape 3.5.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{4}{y} - \frac{x}{y}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{y} - \frac{x}{y}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4}{y} - \frac{x}{y} = 0$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $\frac{4}{y}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{x}{y} = - \frac{4}{y}$

Étape 4.2

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$- x = - 4$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 5

Solve the function $f (x) = \sqrt{x (8 - x)}$ at $x = 4$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = \sqrt{(4) (8 - (4))}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (4) = \sqrt{4 (8 - 4)}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $4$ de $8$ .

$f (4) = \sqrt{4 \cdot 4}$

Étape 5.2.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (4) = \sqrt{16}$

Étape 5.2.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (4) = \sqrt{4^{2}}$

Étape 5.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (4) = 4$

Étape 5.2.6

La réponse finale est $4$ .

$4$

Étape 6

Solve the function $f (x) = - \sqrt{x (8 - x)}$ at $x = 4$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = - \sqrt{(4) (8 - (4))}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (4) = - \sqrt{4 (8 - 4)}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $4$ de $8$ .

$f (4) = - \sqrt{4 \cdot 4}$

Étape 6.2.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (4) = - \sqrt{16}$

Étape 6.2.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (4) = - \sqrt{4^{2}}$

Étape 6.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (4) = - 1 \cdot 4$

Étape 6.2.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (4) = - 4$

Étape 6.2.7

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 7

The horizontal tangent lines are $y = 4, y = - 4$

$y = 4, y = - 4$

Étape 8