Calcul infinitésimal Exemples

$12 x^{2} - 176 x + 484$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{2} - 176 x + 484$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 176 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 176$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 176 x$ par rapport à $x$ est $- 176 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 176 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [484]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 x - 176 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [484]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 176$ par $1$ .

$24 x - 176 + \frac{d}{d x} [484]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $484$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $484$ par rapport à $x$ est $0$ .

$24 x - 176 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $24 x - 176$ et $0$ .

$f' (x) = 24 x - 176$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $24 x - 176$ .

$24 x - 176$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $24 x - 176 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$24 x - 176 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $176$ aux deux côtés de l’équation.

$24 x = 176$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $24 x = 176$ par $24$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $24 x = 176$ par $24$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{176}{24}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $24$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{24 x}{24} = \frac{176}{24}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{176}{24}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $176$ et $24$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $8$ à partir de $176$ .

$x = \frac{8 (22)}{24}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez $8$ à partir de $24$ .

$x = \frac{8 \cdot 22}{8 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{8 \cdot 22}{8 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{22}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $12 x^{2} - 176 x + 484$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{22}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{22}{3}$ .

$12 {(\frac{22}{3})}^{2} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{22}{3}$ .

$12 \frac{22^{2}}{3^{2}} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $22$ à la puissance $2$ .

$12 \frac{484}{3^{2}} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$12 (\frac{484}{9}) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Étape 4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$3 (4) \frac{484}{9} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Étape 4.1.2.1.4.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$3 \cdot 4 \frac{484}{3 \cdot 3} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Étape 4.1.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 4 \frac{484}{3 \cdot 3} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Étape 4.1.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{484}{3}) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Étape 4.1.2.1.5

Associez $4$ et $\frac{484}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 484}{3} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $4$ par $484$ .

$\frac{1936}{3} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Étape 4.1.2.1.7

Multipliez $- 176 (\frac{22}{3})$ .

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Étape 4.1.2.1.7.1

Associez $- 176$ et $\frac{22}{3}$ .

$\frac{1936}{3} + \frac{- 176 \cdot 22}{3} + 484$

Étape 4.1.2.1.7.2

Multipliez $- 176$ par $22$ .

$\frac{1936}{3} + \frac{- 3872}{3} + 484$

Étape 4.1.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1936}{3} - \frac{3872}{3} + 484$

Étape 4.1.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$484 + \frac{1936 - 3872}{3}$

Étape 4.1.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.2.2.1

Soustrayez $3872$ de $1936$ .

$484 + \frac{- 1936}{3}$

Étape 4.1.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$484 - \frac{1936}{3}$

Étape 4.1.2.3

Pour écrire $484$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$484 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1936}{3}$

Étape 4.1.2.4

Associez $484$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{484 \cdot 3}{3} - \frac{1936}{3}$

Étape 4.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{484 \cdot 3 - 1936}{3}$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $484$ par $3$ .

$\frac{1452 - 1936}{3}$

Étape 4.1.2.6.2

Soustrayez $1936$ de $1452$ .

$\frac{- 484}{3}$

Étape 4.1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{484}{3}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(\frac{22}{3}, - \frac{484}{3})$

Étape 5