Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x e^{x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x e^{x} + e^{x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x} + e^{x}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} = 0$

Étape 2.2.2

Multipliez par $1$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$e^{x} (x + 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (x + 1) = 0$ vraie.

$x = - 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x e^{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$(- 1) \cdot e^{- 1}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 \cdot \frac{1}{e}$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez $- 1 \frac{1}{e}$ comme $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(- 1, - \frac{1}{e})$

Étape 5