Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 20 x + 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 1.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 1.1.2.4

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 1.1.2.6

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Étape 1.1.2.7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))$

Étape 1.1.2.9

Multipliez $2$ par $5$ .

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

$- 20 + 10 x = 0$

Étape 2.3

Définissez $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}) = \ln (0)$

Étape 2.3.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.3.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 2.4

Définissez $- 20 + 10 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $- 20 + 10 x$ égal à $0$ .

$- 20 + 10 x = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $- 20 + 10 x = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$10 x = 20$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $10 x = 20$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $10 x = 20$ par $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{20}{10}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Divisez $20$ par $10$ .

$x = 2$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ vraie.

$x = 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $- 20$ par $2$ .

$e^{1 - 40 + 5 {(2)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e^{1 - 40 + 5 \cdot 4}$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $5$ par $4$ .

$e^{1 - 40 + 20}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $40$ de $1$ .

$e^{- 39 + 20}$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $- 39$ et $20$ .

$e^{- 19}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{19}}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(2, \frac{1}{e^{19}})$

Étape 5