Calcul infinitésimal Exemples

Trouver les minimums et maximums locaux f(x)=3x^4-6x^2+7
Étape 1
Déterminez la dérivée première de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.3.3
Multipliez par .
Étape 1.4
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.4.2
Additionnez et .
Étape 2
Déterminez la dérivée seconde de la fonction.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.2.3
Multipliez par .
Étape 2.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.3.3
Multipliez par .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.2.3
Multipliez par .
Étape 4.1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.3.3
Multipliez par .
Étape 4.1.4
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.4.2
Additionnez et .
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.2
Réécrivez comme .
Étape 5.2.3
Factorisez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.3.1
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, et .
Étape 5.2.3.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 5.3
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 5.4
Définissez égal à .
Étape 5.5
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.1
Définissez égal à .
Étape 5.5.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.6
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.1
Définissez égal à .
Étape 5.6.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 5.7
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 6
Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 9.1.2
Multipliez par .
Étape 9.2
Soustrayez de .
Étape 10
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 11
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 11.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 11.2.1.2
Multipliez par .
Étape 11.2.1.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 11.2.1.4
Multipliez par .
Étape 11.2.2
Simplifiez en ajoutant des nombres.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 11.2.2.1
Additionnez et .
Étape 11.2.2.2
Additionnez et .
Étape 11.2.3
La réponse finale est .
Étape 12
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 13
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 13.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 13.1.2
Multipliez par .
Étape 13.2
Soustrayez de .
Étape 14
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Étape 15
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 15.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 15.2.1.2
Multipliez par .
Étape 15.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 15.2.1.4
Multipliez par .
Étape 15.2.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 15.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 15.2.2.2
Additionnez et .
Étape 15.2.3
La réponse finale est .
Étape 16
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 17
Évaluez la dérivée seconde.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 17.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 17.1.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 17.1.2
Multipliez par .
Étape 17.2
Soustrayez de .
Étape 18
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Étape 19
Déterminez la valeur y quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 19.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 19.2
Simplifiez le résultat.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 19.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 19.2.1.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 19.2.1.2
Multipliez par .
Étape 19.2.1.3
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 19.2.1.4
Multipliez par .
Étape 19.2.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 19.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 19.2.2.2
Additionnez et .
Étape 19.2.3
La réponse finale est .
Étape 20
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
est un minimum local
est un minimum local
Étape 21