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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Écrivez comme une fonction.
Étape 2
Étape 2.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 2.2
Différenciez.
Étape 2.2.1
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.2.2
Multipliez par .
Étape 2.2.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.2.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.6
Simplifiez l’expression.
Étape 2.2.6.1
Additionnez et .
Étape 2.2.6.2
Multipliez par .
Étape 2.3
Élevez à la puissance .
Étape 2.4
Élevez à la puissance .
Étape 2.5
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.6
Additionnez et .
Étape 2.7
Soustrayez de .
Étape 3
Étape 3.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 3.2
Différenciez.
Étape 3.2.1
Multipliez les exposants dans .
Étape 3.2.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 3.2.1.2
Multipliez par .
Étape 3.2.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.2.5
Multipliez par .
Étape 3.2.6
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2.7
Additionnez et .
Étape 3.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.4
Différenciez.
Étape 3.4.1
Multipliez par .
Étape 3.4.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.4.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.4.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.4.5
Simplifiez l’expression.
Étape 3.4.5.1
Additionnez et .
Étape 3.4.5.2
Déplacez à gauche de .
Étape 3.4.5.3
Multipliez par .
Étape 3.5
Simplifiez
Étape 3.5.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.5.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.5.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 3.5.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.5.3.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 3.5.3.1.2
Réécrivez comme .
Étape 3.5.3.1.3
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 3.5.3.1.3.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.5.3.1.3.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.5.3.1.3.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.5.3.1.4
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 3.5.3.1.4.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.5.3.1.4.1.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.5.3.1.4.1.1.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.5.3.1.4.1.1.2
Additionnez et .
Étape 3.5.3.1.4.1.2
Déplacez à gauche de .
Étape 3.5.3.1.4.1.3
Multipliez par .
Étape 3.5.3.1.4.2
Additionnez et .
Étape 3.5.3.1.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.5.3.1.6
Simplifiez
Étape 3.5.3.1.6.1
Multipliez par .
Étape 3.5.3.1.6.2
Multipliez par .
Étape 3.5.3.1.7
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.5.3.1.8
Simplifiez
Étape 3.5.3.1.8.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.5.3.1.8.1.1
Déplacez .
Étape 3.5.3.1.8.1.2
Multipliez par .
Étape 3.5.3.1.8.1.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 3.5.3.1.8.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.5.3.1.8.1.3
Additionnez et .
Étape 3.5.3.1.8.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.5.3.1.8.2.1
Déplacez .
Étape 3.5.3.1.8.2.2
Multipliez par .
Étape 3.5.3.1.8.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 3.5.3.1.8.2.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.5.3.1.8.2.3
Additionnez et .
Étape 3.5.3.1.9
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.5.3.1.9.1
Multipliez par .
Étape 3.5.3.1.9.2
Multipliez par .
Étape 3.5.3.1.10
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.5.3.1.10.1
Multipliez par .
Étape 3.5.3.1.10.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 3.5.3.1.10.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.5.3.1.10.2
Additionnez et .
Étape 3.5.3.1.11
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 3.5.3.1.11.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.5.3.1.11.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.5.3.1.11.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.5.3.1.12
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 3.5.3.1.12.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.5.3.1.12.1.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.5.3.1.12.1.1.1
Déplacez .
Étape 3.5.3.1.12.1.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.5.3.1.12.1.1.3
Additionnez et .
Étape 3.5.3.1.12.1.2
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 3.5.3.1.12.1.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.5.3.1.12.1.3.1
Déplacez .
Étape 3.5.3.1.12.1.3.2
Multipliez par .
Étape 3.5.3.1.12.1.3.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 3.5.3.1.12.1.3.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.5.3.1.12.1.3.3
Additionnez et .
Étape 3.5.3.1.12.1.4
Multipliez par .
Étape 3.5.3.1.12.1.5
Multipliez par .
Étape 3.5.3.1.12.2
Soustrayez de .
Étape 3.5.3.1.12.3
Additionnez et .
Étape 3.5.3.2
Additionnez et .
Étape 3.5.3.3
Soustrayez de .
Étape 3.5.4
Simplifiez le numérateur.
Étape 3.5.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.5.4.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.5.4.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 3.5.4.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 3.5.4.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 3.5.4.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 3.5.4.2
Réécrivez comme .
Étape 3.5.4.3
Laissez . Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.5.4.4
Factorisez à l’aide de la méthode AC.
Étape 3.5.4.4.1
Étudiez la forme . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est et dont la somme est . Dans ce cas, dont le produit est et dont la somme est .
Étape 3.5.4.4.2
Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.
Étape 3.5.4.5
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.5.5
Annulez le facteur commun à et .
Étape 3.5.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.5.5.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 3.5.5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.5.5.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.5.5.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 5
Étape 5.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 5.1.1
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 5.1.2
Différenciez.
Étape 5.1.2.1
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5.1.2.2
Multipliez par .
Étape 5.1.2.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.1.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5.1.2.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.1.2.6
Simplifiez l’expression.
Étape 5.1.2.6.1
Additionnez et .
Étape 5.1.2.6.2
Multipliez par .
Étape 5.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 5.1.4
Élevez à la puissance .
Étape 5.1.5
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.1.6
Additionnez et .
Étape 5.1.7
Soustrayez de .
Étape 5.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 6
Étape 6.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 6.2
Définissez le numérateur égal à zéro.
Étape 6.3
Résolvez l’équation pour .
Étape 6.3.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 6.3.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 6.3.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 6.3.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 6.3.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 6.3.2.2.2
Divisez par .
Étape 6.3.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 6.3.2.3.1
Divisez par .
Étape 6.3.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Étape 6.3.4
Simplifiez .
Étape 6.3.4.1
Réécrivez comme .
Étape 6.3.4.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 6.3.5
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 6.3.5.1
Commencez par utiliser la valeur positive du pour déterminer la première solution.
Étape 6.3.5.2
Ensuite, utilisez la valeur négative du pour déterminer la deuxième solution.
Étape 6.3.5.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 7
Étape 7.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 8
Points critiques à évaluer.
Étape 9
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 10
Étape 10.1
Multipliez par .
Étape 10.2
Simplifiez le dénominateur.
Étape 10.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 10.2.2
Additionnez et .
Étape 10.2.3
Élevez à la puissance .
Étape 10.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 10.3.1
Élevez à la puissance .
Étape 10.3.2
Soustrayez de .
Étape 10.4
Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.
Étape 10.4.1
Multipliez par .
Étape 10.4.2
Annulez le facteur commun à et .
Étape 10.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 10.4.2.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 10.4.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 10.4.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 10.4.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 10.4.3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 11
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 12
Étape 12.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 12.2
Simplifiez le résultat.
Étape 12.2.1
Simplifiez le dénominateur.
Étape 12.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 12.2.1.2
Additionnez et .
Étape 12.2.2
Annulez le facteur commun à et .
Étape 12.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 12.2.2.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 12.2.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 12.2.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 12.2.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 12.2.3
La réponse finale est .
Étape 13
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 14
Étape 14.1
Multipliez par .
Étape 14.2
Simplifiez le dénominateur.
Étape 14.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 14.2.2
Additionnez et .
Étape 14.2.3
Élevez à la puissance .
Étape 14.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 14.3.1
Élevez à la puissance .
Étape 14.3.2
Soustrayez de .
Étape 14.4
Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.
Étape 14.4.1
Multipliez par .
Étape 14.4.2
Annulez le facteur commun à et .
Étape 14.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 14.4.2.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 14.4.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 14.4.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 14.4.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 15
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Étape 16
Étape 16.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 16.2
Simplifiez le résultat.
Étape 16.2.1
Simplifiez le dénominateur.
Étape 16.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 16.2.1.2
Additionnez et .
Étape 16.2.2
Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.
Étape 16.2.2.1
Annulez le facteur commun à et .
Étape 16.2.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 16.2.2.1.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 16.2.2.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 16.2.2.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 16.2.2.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 16.2.2.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 16.2.3
La réponse finale est .
Étape 17
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
est un minimum local
Étape 18