Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

Étape 1.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x)$

Étape 1.4.2.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Étape 1.4.2.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x) - \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (2 x) - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 2.2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \cos (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

Étape 4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 5

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

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Étape 5.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Étape 5.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 5.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 7

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 7.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 7.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 7.2.5

La solution de l’équation est $x = 0$ .

$x = 0, π$

Étape 8

Définissez $2 \cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $2 \cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $2 \cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \cos (x) = 1$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Étape 8.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 8.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 8.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 8.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 8.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 8.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 8.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 8.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 8.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.6.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 8.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 8.2.7

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, π, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 \cos (2 (0)) - \cos (0)$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$2 \cos (0) - \cos (0)$

Étape 11.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (0)$

Étape 11.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - \cos (0)$

Étape 11.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Étape 11.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 - 1$

Étape 11.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1$

Étape 12

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \sin^{2} (0) + \cos (0)$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (0) = 0^{2} + \cos (0)$

Étape 13.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + \cos (0)$

Étape 13.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = 0 + 1$

Étape 13.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 13.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde sur $x = π$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 \cos (2 (π)) - \cos (π)$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 \cos (0) - \cos (π)$

Étape 15.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (π)$

Étape 15.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - \cos (π)$

Étape 15.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$2 - - \cos (0)$

Étape 15.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 - (- 1 \cdot 1)$

Étape 15.1.6

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 15.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 - - 1$

Étape 15.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 + 1$

Étape 15.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$3$

Étape 16

$x = π$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = π$ est un minimum local

Étape 17

Déterminez la valeur y quand $x = π$ .

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Étape 17.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$f (π) = \sin^{2} (π) + \cos (π)$

Étape 17.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 17.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (π) = \sin^{2} (0) + \cos (π)$

Étape 17.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (π) = 0^{2} + \cos (π)$

Étape 17.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (π) = 0 + \cos (π)$

Étape 17.2.1.4

$f (π) = 0 - \cos (0)$

Étape 17.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (π) = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 17.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (π) = 0 - 1$

Étape 17.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (π) = - 1$

Étape 17.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 \cos (2 (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 19

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 19.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.1.1

Associez $2$ et $\frac{π}{3}$ .

$2 \cos (\frac{2 π}{3}) - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 19.1.2

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 19.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 19.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 19.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 19.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 19.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - \frac{1}{2}$

Étape 19.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 19.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 19.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 19.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 - 1}{2}$

Étape 19.5.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$\frac{- 3}{2}$

Étape 19.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2}$

Étape 20

$x = \frac{π}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{3}$ est un maximum local

Étape 21

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{3}$ .

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Étape 21.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = \sin^{2} (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 21.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 21.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 21.2.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.2.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.2.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 21.2.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.2.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.2.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Étape 21.2.2

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 21.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 21.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 21.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Étape 21.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

Étape 21.2.5

Additionnez $3$ et $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

Étape 21.2.6

La réponse finale est $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Étape 22

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5 π}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 \cos (2 (\frac{5 π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 23

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 23.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.1.1

Multipliez $2 (\frac{5 π}{3})$ .

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Étape 23.1.1.1

Associez $2$ et $\frac{5 π}{3}$ .

$2 \cos (\frac{2 (5 π)}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 23.1.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$2 \cos (\frac{10 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 23.1.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 \cos (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 23.1.3

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 23.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 23.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 23.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 23.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 23.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 23.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Étape 23.1.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - \frac{1}{2}$

Étape 23.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 23.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 23.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 23.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 23.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 - 1}{2}$

Étape 23.5.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$\frac{- 3}{2}$

Étape 23.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2}$

Étape 24

$x = \frac{5 π}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5 π}{3}$ est un maximum local

Étape 25

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5 π}{3}$ .

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Étape 25.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin^{2} (\frac{5 π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 25.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 25.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 25.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \sin (\frac{π}{3}))}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 25.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 25.2.1.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 25.2.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 25.2.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 25.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 25.2.1.5

Multipliez $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 25.2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 25.2.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 25.2.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 25.2.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 25.2.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 25.2.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 25.2.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 25.2.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 25.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 25.2.1.8

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Étape 25.2.1.9

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Étape 25.2.2

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 25.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 25.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 25.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Étape 25.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

Étape 25.2.5

Additionnez $3$ et $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5}{4}$

Étape 25.2.6

La réponse finale est $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Étape 26

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$ .

$(0, 1)$ est un minimum local

$(π, - 1)$ est un minimum local

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ est un maximum local

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5}{4})$ est un maximum local

Étape 27