Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x - 3}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 27}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 27}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 27}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $27$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{3^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{27 - 1 \cdot 27}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$\frac{27 - 27}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $27$ de $27$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2}}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2}}{1 + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2}}{1}$

Étape 1.4

Divisez $3 x^{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to 3} 3 x^{2}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to 3} x^{2}$

Étape 2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $3$ pour $x$ .

$3 \cdot 3^{2}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 4.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$3^{1} \cdot 3^{2}$

Étape 4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{1 + 2}$

Étape 4.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$3^{3}$

Étape 4.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27$