Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{y \to 1} \sec (y \sec^{2} (y) - \tan^{2} (y) - 1)$

Étape 1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\sec (lim_{y \to 1} y \sec^{2} (y) - \tan^{2} (y) - 1)$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $1$ .

$\sec (lim_{y \to 1} y \sec^{2} (y) - lim_{y \to 1} \tan^{2} (y) - lim_{y \to 1} 1)$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $1$ .

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot lim_{y \to 1} \sec^{2} (y) - lim_{y \to 1} \tan^{2} (y) - lim_{y \to 1} 1)$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (y)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot {(lim_{y \to 1} \sec (y))}^{2} - lim_{y \to 1} \tan^{2} (y) - lim_{y \to 1} 1)$

Étape 5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - lim_{y \to 1} \tan^{2} (y) - lim_{y \to 1} 1)$

Étape 6

Déplacez l’exposant $2$ de $\tan^{2} (y)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - {(lim_{y \to 1} \tan (y))}^{2} - lim_{y \to 1} 1)$

Étape 7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - \tan^{2} (lim_{y \to 1} y) - lim_{y \to 1} 1)$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $y$ approche de $1$ .

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - \tan^{2} (lim_{y \to 1} y) - 1 \cdot 1)$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $y$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $y$ en insérant $1$ pour $y$ .

$\sec (1 \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - \tan^{2} (lim_{y \to 1} y) - 1 \cdot 1)$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $y$ en insérant $1$ pour $y$ .

$\sec (1 \cdot \sec^{2} (1) - \tan^{2} (lim_{y \to 1} y) - 1 \cdot 1)$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $y$ en insérant $1$ pour $y$ .

$\sec (1 \cdot \sec^{2} (1) - \tan^{2} (1) - 1 \cdot 1)$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Factorisez $1$ à partir de $1 \cdot \sec^{2} (1)$ .

$\sec (1 (\sec^{2} (1)) - \tan^{2} (1) - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2

Factorisez $1$ à partir de $- \tan^{2} (1)$ .

$\sec (1 (\sec^{2} (1)) + 1 (- \tan^{2} (1)) - 1 \cdot 1)$

Étape 10.3

Factorisez $1$ à partir de $1 (\sec^{2} (1)) + 1 (- \tan^{2} (1))$ .

$\sec (1 (\sec^{2} (1) - \tan^{2} (1)) - 1 \cdot 1)$

Étape 10.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sec (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Étape 10.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.5.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\sec (1 - 1 \cdot 1)$

Étape 10.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sec (1 - 1)$

Étape 10.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\sec (0)$

Étape 10.7

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$1$