Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{1}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 3 x + 2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 1.2

Pour écrire $\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{x - 1}$ par $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 3 x + 2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)} + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)} + \frac{x - 1}{(x^{2} - 3 x + 2) (x - 1)}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} - 3 x + 2) (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)} + \frac{x - 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2 + x - 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Étape 1.5

Additionnez $- 3 x$ et $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 2 x + 2 - 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Étape 1.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 2 x + 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Étape 2.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Étape 2.1.2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Étape 2.1.2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Étape 2.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Étape 2.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Étape 2.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.6.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 2 \cdot 1 + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Étape 2.1.2.6.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1 - 2 + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Étape 2.1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Étape 2.1.2.6.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 2.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 2.1.3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 2.1.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} 2)}$

Étape 2.1.3.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} 2)}$

Étape 2.1.3.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 2)}$

Étape 2.1.3.7

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + 2)}$

Étape 2.1.3.8

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + 2)}$

Étape 2.1.3.8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + 2)}$

Étape 2.1.3.8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1^{2} - 3 \cdot 1 + 2)}$

Étape 2.1.3.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1^{2} - 3 \cdot 1 + 2)}$

Étape 2.1.3.9.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1^{2} - 3 \cdot 1 + 2)}$

Étape 2.1.3.9.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.9.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 3 \cdot 1 + 2)}$

Étape 2.1.3.9.3.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 3 + 2)}$

Étape 2.1.3.9.4

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (- 2 + 2)}$

Étape 2.1.3.9.5

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Étape 2.1.3.9.6

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.9.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.10

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 2 x + 1}{(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Étape 2.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2 + 0}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Étape 2.3.6

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{\frac{d}{d x} [(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2)]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = x^{2} - 3 x + 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2] + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 2.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 2.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 2.3.10

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 2.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 2.3.12

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 2.3.13

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3 + 0) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 2.3.14

Additionnez $2 x - 3$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 2.3.15

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Étape 2.3.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Étape 2.3.17

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) (1 + 0)}$

Étape 2.3.18

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + (x^{2} - 3 x + 2) \cdot 1}$

Étape 2.3.19

Multipliez $x^{2} - 3 x + 2$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x - 3) + x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 2.3.20

Simplifiez

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Étape 2.3.20.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{(x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 2.3.20.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 2.3.20.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 2.3.20.4

Associez des termes.

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Étape 2.3.20.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 2.3.20.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 2.3.20.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 2.3.20.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 2.3.20.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 2 x + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 2.3.20.4.6

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 2 x - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 2.3.20.4.7

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 2 x - 3 x + 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 2.3.20.4.8

Soustrayez $3 x$ de $- 2 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 5 x + 3 + x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 2.3.20.4.9

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 5 x + 3 - 3 x + 2}$

Étape 2.3.20.4.10

Soustrayez $3 x$ de $- 5 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 8 x + 3 + 2}$

Étape 2.3.20.4.11

Additionnez $3$ et $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 8 x + 5}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x - 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Étape 3.1.2.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Étape 3.1.2.1.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.3.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Étape 3.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Étape 3.1.2.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 8 x + 5}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 8 x + lim_{x \to 1} 5}$

Étape 3.1.3.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 8 x + lim_{x \to 1} 5}$

Étape 3.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 8 x + lim_{x \to 1} 5}$

Étape 3.1.3.4

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 5}$

Étape 3.1.3.5

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 1} x + 5}$

Étape 3.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1^{2} - 8 lim_{x \to 1} x + 5}$

Étape 3.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 5}$

Étape 3.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.7.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 5}$

Étape 3.1.3.7.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{0}{3 - 8 \cdot 1 + 5}$

Étape 3.1.3.7.1.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$\frac{0}{3 - 8 + 5}$

Étape 3.1.3.7.2

Soustrayez $8$ de $3$ .

$\frac{0}{- 5 + 5}$

Étape 3.1.3.7.3

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.7.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{3 x^{2} - 8 x + 5} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Étape 3.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Étape 3.3.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Étape 3.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Étape 3.3.5

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 5]}$

Étape 3.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 8 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Étape 3.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.7.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Étape 3.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Étape 3.3.7.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Étape 3.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 3.3.8.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Étape 3.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]}$

Étape 3.3.8.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8 + \frac{d}{d x} [5]}$

Étape 3.3.9

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8 + 0}$

Étape 3.3.10

Additionnez $6 x - 8$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{6 x - 8}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $6 x - 8$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (1)}{6 x - 8}$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (1)}{2 (3 x) - 8}$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x) + 2 \cdot - 4}$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (- 4)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (1)}{2 (3 x - 4)}$

Étape 3.4.2.4

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x - 4)}$

Étape 3.4.2.5

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{3 x - 4}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 3 x - 4}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - 4}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 4}$

Étape 4.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 4}$

Étape 4.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 4}$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 4}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{3 - 1 \cdot 4}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1}{3 - 4}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $4$ de $3$ .

$\frac{1}{- 1}$

Étape 6.2

Divisez $1$ par $- 1$ .

$- 1$