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Calcul infinitésimal Exemples
,
Étape 1
Étape 1.1
Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.
Étape 1.2
Résolvez pour .
Étape 1.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.2
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Étape 1.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.2
Réécrivez comme .
Étape 1.2.2.3
Factorisez.
Étape 1.2.2.3.1
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, où et .
Étape 1.2.2.3.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 1.2.3
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.2.4
Définissez égal à .
Étape 1.2.5
Définissez égal à et résolvez .
Étape 1.2.5.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.5.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.6
Définissez égal à et résolvez .
Étape 1.2.6.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.6.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.7
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 1.3
Évaluez quand .
Étape 1.3.1
Remplacez par .
Étape 1.3.2
Multipliez par .
Étape 1.4
Évaluez quand .
Étape 1.4.1
Remplacez par .
Étape 1.4.2
Multipliez par .
Étape 1.5
Évaluez quand .
Étape 1.5.1
Remplacez par .
Étape 1.5.2
Multipliez par .
Étape 1.6
La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.
Étape 2
L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.
Étape 3
Étape 3.1
Associez les intégrales en une intégrale unique.
Étape 3.2
Multipliez par .
Étape 3.3
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 3.4
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 3.5
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 3.6
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 3.7
Simplifiez la réponse.
Étape 3.7.1
Associez et .
Étape 3.7.2
Remplacez et simplifiez.
Étape 3.7.2.1
Évaluez sur et sur .
Étape 3.7.2.2
Évaluez sur et sur .
Étape 3.7.2.3
Simplifiez
Étape 3.7.2.3.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 3.7.2.3.2
Multipliez par .
Étape 3.7.2.3.3
Élevez à la puissance .
Étape 3.7.2.3.4
Multipliez par .
Étape 3.7.2.3.5
Associez et .
Étape 3.7.2.3.6
Annulez le facteur commun à et .
Étape 3.7.2.3.6.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.7.2.3.6.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 3.7.2.3.6.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.7.2.3.6.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.7.2.3.6.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3.7.2.3.6.2.4
Divisez par .
Étape 3.7.2.3.7
Soustrayez de .
Étape 3.7.2.3.8
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 3.7.2.3.9
Annulez le facteur commun à et .
Étape 3.7.2.3.9.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.7.2.3.9.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 3.7.2.3.9.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.7.2.3.9.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.7.2.3.9.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3.7.2.3.9.2.4
Divisez par .
Étape 3.7.2.3.10
Élevez à la puissance .
Étape 3.7.2.3.11
Annulez le facteur commun à et .
Étape 3.7.2.3.11.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.7.2.3.11.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 3.7.2.3.11.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.7.2.3.11.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.7.2.3.11.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3.7.2.3.11.2.4
Divisez par .
Étape 3.7.2.3.12
Multipliez par .
Étape 3.7.2.3.13
Soustrayez de .
Étape 3.7.2.3.14
Multipliez par .
Étape 3.7.2.3.15
Additionnez et .
Étape 4
L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.
Étape 5
Étape 5.1
Associez les intégrales en une intégrale unique.
Étape 5.2
Multipliez par .
Étape 5.3
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 5.4
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 5.5
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 5.6
Associez et .
Étape 5.7
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 5.8
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 5.9
Simplifiez la réponse.
Étape 5.9.1
Associez et .
Étape 5.9.2
Remplacez et simplifiez.
Étape 5.9.2.1
Évaluez sur et sur .
Étape 5.9.2.2
Évaluez sur et sur .
Étape 5.9.2.3
Simplifiez
Étape 5.9.2.3.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.9.2.3.2
Annulez le facteur commun à et .
Étape 5.9.2.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.9.2.3.2.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 5.9.2.3.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.9.2.3.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.9.2.3.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.9.2.3.2.2.4
Divisez par .
Étape 5.9.2.3.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 5.9.2.3.4
Annulez le facteur commun à et .
Étape 5.9.2.3.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.9.2.3.4.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 5.9.2.3.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.9.2.3.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.9.2.3.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.9.2.3.4.2.4
Divisez par .
Étape 5.9.2.3.5
Multipliez par .
Étape 5.9.2.3.6
Additionnez et .
Étape 5.9.2.3.7
Multipliez par .
Étape 5.9.2.3.8
Élevez à la puissance .
Étape 5.9.2.3.9
Annulez le facteur commun à et .
Étape 5.9.2.3.9.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.9.2.3.9.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 5.9.2.3.9.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.9.2.3.9.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.9.2.3.9.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.9.2.3.9.2.4
Divisez par .
Étape 5.9.2.3.10
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 5.9.2.3.11
Annulez le facteur commun à et .
Étape 5.9.2.3.11.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.9.2.3.11.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 5.9.2.3.11.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.9.2.3.11.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.9.2.3.11.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.9.2.3.11.2.4
Divisez par .
Étape 5.9.2.3.12
Multipliez par .
Étape 5.9.2.3.13
Additionnez et .
Étape 5.9.2.3.14
Multipliez par .
Étape 5.9.2.3.15
Soustrayez de .
Étape 6
Additionnez et .
Étape 7