Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x \sqrt{x^{2} - 1})$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $y = \ln (x \sqrt{x^{2} - 1})$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique du radical.

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Étape 1.1

Définissez l’argument dans $\ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \sqrt{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})}^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ comme ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Simplifiez ${(x {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${(x {(x (x - 1) + 1 (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(x {(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

${(x {(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.2.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.2.1.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

${(x {(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

${(x {(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

${(x {(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

${(x {(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(x {(x^{2} - x + x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

${(x {(x^{2} + 0 - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

${(x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} {(x^{2} - 1)}^{1} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.5

Simplifiez

$x^{2} (x^{2} - 1) > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.2.1.7.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.7.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot - 1 > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$x^{4} - 1 \cdot x^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.9

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$x^{4} - x^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{4} - x^{2} > 0$

Étape 1.2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{4} - x^{2} = 0$

Étape 1.2.3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.3.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - x^{2}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} = 0$

Étape 1.2.3.2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Étape 1.2.3.2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Étape 1.2.3.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 1.2.3.2.3

Factorisez.

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Étape 1.2.3.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 1.2.3.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 1.2.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.3.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 1.2.3.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.3.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.2.3.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.2.3.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.2.3.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.2.3.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.3.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.3.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.3.6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.3.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1, 1$

Étape 1.2.4

Déterminez le domaine de $x \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.4.2.2

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.4.2.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.4.2.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.2.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.4.2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.4.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 1.2.4.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Étape 1.2.4.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.2.4.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.4.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 1.2.4.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

Étape 1.2.4.2.6.1.3

Le côté gauche $15$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 1.2.4.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.4.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.2.4.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

Étape 1.2.4.2.6.2.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 1.2.4.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.4.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 1.2.4.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

Étape 1.2.4.2.6.3.3

Le côté gauche $15$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 1.2.4.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 1.2.4.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 1$ ou $x \geq 1$

Étape 1.2.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Étape 1.2.5

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x > 1$

Étape 1.3

Définissez le radicande dans $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

Étape 1.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 1.4.2

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.4.2.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.4.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.4.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.4.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 1.4.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Étape 1.4.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.4.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.4.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 1.4.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

Étape 1.4.6.1.3

Le côté gauche $15$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 1.4.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.4.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.4.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

Étape 1.4.6.2.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 1.4.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.4.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 1.4.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

Étape 1.4.6.3.3

Le côté gauche $15$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 1.4.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 1.4.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 1$ ou $x \geq 1$

Étape 1.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 1}$

Notation d’intervalle :

$(1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 1}$

Étape 2

Pour déterminer le point final de l’expression radicale, remplacez la valeur $x$ $1$ , qui est la valeur la plus basse dans le domaine, dans $f (x) = \ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \ln ((1) \sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)})$

Étape 2.2

Multipliez $\sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)}$ par $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)})$

Étape 2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{2 (1 - 1)})$

Étape 2.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{2 \cdot 0})$

Étape 2.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{0})$

Étape 2.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

Étape 2.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (1) = \ln (0)$

Étape 2.8

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

$f (1) = Undefined$

Indéfini

Étape 3

Le point final de l’expression du radical est $(1, Undefined)$ .

$(1, Undefined)$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du point final de l’expression radicale.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = \ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ . Dans ce cas, le point est $(2, \ln (2 \sqrt{3}))$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \ln ((2) \sqrt{((2) + 1) ((2) - 1)})$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (2) = \ln (2 \sqrt{3 (2 - 1)})$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (2) = \ln (2 \sqrt{3 \cdot 1})$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (2) = \ln (2 \sqrt{3})$

Étape 4.1.2.4

La réponse finale est $\ln (2 \sqrt{3})$ .

$y = \ln (2 \sqrt{3})$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $3$ dans $f (x) = \ln (x \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ . Dans ce cas, le point est $(3, \ln (6 \sqrt{2}))$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \ln ((3) \sqrt{((3) + 1) ((3) - 1)})$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{4 (3 - 1)})$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{4 \cdot 2})$

Étape 4.2.2.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{8})$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.2.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{4 (2)})$

Étape 4.2.2.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (3) = \ln (3 \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

Étape 4.2.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (3) = \ln (3 (2 \sqrt{2}))$

Étape 4.2.2.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (3) = \ln (6 \sqrt{2})$

Étape 4.2.2.7

La réponse finale est $\ln (6 \sqrt{2})$ .

$y = \ln (6 \sqrt{2})$

Étape 4.3

La racine carrée peut être représentée avec les points autour du sommet $(1, Undefined), (2, 1.24), (3, 2.14)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & Undefined \\ 2 & 1.24 \\ 3 & 2.14 \end{array}$

Étape 5