Calcul infinitésimal Exemples

${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$2 \frac{x + 1}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Étape 2

Associez $2$ et $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x - 1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.8

Associez les fractions.

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Étape 4.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.8.3

Multipliez $\frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ par $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

Étape 5

Multipliez $x - 1$ par ${(x - 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Multipliez $x - 1$ par ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

Étape 5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(2 x + 2) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 6.3.2

Associez les termes opposés dans $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

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Étape 6.3.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{(2 x + 2) (0 - 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 6.3.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 6.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 6.3.4

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{(2 x + 2) \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 6.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 6.3.6

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 4 x + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 6.3.7

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{- 4 x - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 6.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x - 4$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 6.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 6.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{4 (- x - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{4 (- (x) - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 6.6

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{4 (- (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 6.8

Réécrivez $- (x + 1)$ comme $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{4 (- 1 (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 6.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 (x + 1)}{{(x - 1)}^{3}}$