Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} - 6 x + 12}{x - 4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 6 x + 12$ et $g (x) = x - 4$ .

$\frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 12] - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6 x + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6 + 0) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.7

Additionnez $2 x - 6$ et $0$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.10

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 4) (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Développez $(x - 4) (2 x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x - 6) - 4 (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 4 (2 x - 6) - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 6 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.3

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 \cdot x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - 8 x - 4 \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - 8 x + 24 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Soustrayez $8 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 24 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 24 - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 24 - x^{2} + 6 x - 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 14 x + 24 + 6 x - 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Additionnez $- 14 x$ et $6 x$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 24 - 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Soustrayez $12$ de $24$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.3

Factorisez $x^{2} - 8 x + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 6, - 2$

Étape 3.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$