Calcul infinitésimal Exemples

${(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Étape 1

Réécrivez ${(x - 4)}^{2}$ comme $(x - 4) (x - 4)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 4) (x - 4) (4 x - 4)]$

Étape 2

Développez $(x - 4) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)]$

Étape 3.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)]$

Étape 3.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)]$

Étape 3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} - 8 x + 16$ et $g (x) = 4 x - 4$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [4 x - 4] + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Étape 5.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Étape 5.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Étape 5.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 + 0) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) \cdot 4 + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Étape 5.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2} - 8 x + 16$ .

$4 \cdot (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Étape 5.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 8 x + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Étape 5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Étape 5.9

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])$

Étape 5.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])$

Étape 5.11

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [16])$

Étape 5.12

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 + 0)$

Étape 5.13

Additionnez $2 x - 8$ et $0$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + (4 x - 4) (2 x - 8)$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + (4 x - 4) (2 x) + (4 x - 4) \cdot - 8$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + (4 x - 4) \cdot - 8$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Étape 6.5

Associez des termes.

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Étape 6.5.1

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$4 x^{2} - 32 x + 4 \cdot 16 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Étape 6.5.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Étape 6.5.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x \cdot x - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Étape 6.5.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 (x^{1} x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Étape 6.5.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 (x^{1} x^{1}) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Étape 6.5.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{1 + 1} - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Étape 6.5.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Étape 6.5.8

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 8 x + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Étape 6.5.9

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 8 x - 32 x - 4 \cdot - 8$

Étape 6.5.10

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 8 x - 32 x + 32$

Étape 6.5.11

Soustrayez $32 x$ de $- 8 x$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 40 x + 32$

Étape 6.5.12

Additionnez $4 x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 32 x + 64 - 40 x + 32$

Étape 6.5.13

Soustrayez $40 x$ de $- 32 x$ .

$12 x^{2} - 72 x + 64 + 32$

Étape 6.5.14

Additionnez $64$ et $32$ .

$12 x^{2} - 72 x + 96$