Calcul infinitésimal Exemples

$e^{3 \ln (x^{2})}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 \ln (x^{2})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 \ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 \ln (x^{2})$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

Étape 2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \ln (x^{2})$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $3$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (\frac{3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.2

Associez $\frac{3}{x^{2}}$ et $e^{3 \ln (x^{2})}$ .

$\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} (2 x)$

Étape 4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.4.1

Associez $2$ et $\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}}$ .

$\frac{2 (3 e^{3 \ln (x^{2})})}{x^{2}} x$

Étape 4.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} x$

Étape 4.4.3

Associez $\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}}$ et $x$ .

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})} x}{x^{2}}$

Étape 4.4.4

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.4.4.1

Factorisez $x$ à partir de $6 e^{3 \ln (x^{2})} x$ .

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x^{2}}$

Étape 4.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x \cdot x}$

Étape 4.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x \cdot x}$

Étape 4.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $3 \ln (x^{2})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{6 e^{\ln ({(x^{2})}^{3})}}{x}$

Étape 5.1.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{6 {(x^{2})}^{3}}{x}$

Étape 5.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{3}$ .

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Étape 5.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 x^{2 \cdot 3}}{x}$

Étape 5.1.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 x^{6}}{x}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $x^{6}$ et $x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $6 x^{6}$ .

$\frac{x (6 x^{5})}{x}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (6 x^{5})}{x^{1}}$

Étape 5.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x (6 x^{5})}{x \cdot 1}$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (6 x^{5})}{x \cdot 1}$

Étape 5.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 x^{5}}{1}$

Étape 5.2.2.5

Divisez $6 x^{5}$ par $1$ .

$6 x^{5}$