Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (\sin (\sin (x)))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \sin (\sin (x))$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (\sin (x))]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\sin (\sin (x))]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (\sin (x))$ .

$\cos (\sin (\sin (x))) \frac{d}{d x} [\sin (\sin (x))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (x)$ .

$\cos (\sin (\sin (x))) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$\cos (\sin (\sin (x))) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (x)$ .

$\cos (\sin (\sin (x))) (\cos (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (\sin (\sin (x))) \cos (\sin (x)) \cos (x)$

Étape 4

Réorganisez les facteurs de $\cos (\sin (\sin (x))) \cos (\sin (x)) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (\sin (x)) \cos (\sin (\sin (x)))$