Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{3} + 8}{x + 2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3} + 8$ et $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 8] - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{(x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 2) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{(x + 2) (3 x^{2}) - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Déplacez $3$ à gauche de $x + 2$ .

$\frac{3 \cdot (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 (x + 2) x^{2} - (x^{3} + 8)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x + 3 \cdot 2) x^{2} - (x^{3} + 8)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} - (x^{3} + 8)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.4.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.4.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.4.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3 x^{3} + 6 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{3 x^{3} + 6 x^{2} - x^{3} - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Soustrayez $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} + 6 x^{2} - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3}) + 6 x^{2} - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{3}) + 2 (3 x^{2}) - 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.5.3

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.5.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.5.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$