Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (\ln (a x + b))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ est $f' (g (a)) g' (a)$ où $f (a) = \tan (a)$ et $g (a) = \ln (a x + b)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (a x + b)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (a x + b)$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ est $f' (g (a)) g' (a)$ où $f (a) = \ln (a)$ et $g (a) = a x + b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $a x + b$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d a} [a x + b])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d a} [a x + b])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $a x + b$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{a x + b} \frac{d}{d a} [a x + b])$

Étape 3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez $\frac{1}{a x + b}$ et $\sec^{2} (\ln (a x + b))$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} \frac{d}{d a} [a x + b]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a x + b$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b]$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b])$

Étape 3.3

Comme $x$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $a x$ par rapport à $a$ est $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b])$

Étape 3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x + \frac{d}{d a} [b])$

Étape 3.6

Comme $b$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $b$ par rapport à $a$ est $0$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x + 0)$

Étape 3.7

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} x$

Étape 3.7.2

Associez $\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$ et $x$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b)) x}{a x + b}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sec^{2} (\ln (a x + b)) x$ .

$\frac{x \sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x \sec^{2} (\ln (a x + b))}{b + a x}$