Calcul infinitésimal Exemples

$2 t^{2} + \sqrt{t^{3}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t^{2} + \sqrt{t^{3}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t^{2}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 t) + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 t + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t^{3}}$ comme $t^{\frac{3}{2}}$ .

$4 t + \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$4 t + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 t + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 t + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 t + \frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 t + \frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}$

Étape 3.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$4 t + \frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}} + 4 t$

Étape 4.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 t$